Trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In questa guida oggi vi insegneremo come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali. Se dovrete trovare le radici di un polinomio, e non sapete proprio come poter fare, non dovrete preoccuparvi, questo articolo farà il caso vostro. Vi insegneremo come sviluppare questo teorema, seguendo un procedimento immediato e molto semplice. I termini vari, sono uniti tra loro tramite addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni. Il procedimento per trovare le radici di un polinomio è abbastanza laborioso, ed occorre avere delle conoscenze algebriche opportune. Vi consigliamo, perciò, di seguire i suggerimenti riportati in modo dettagliato.

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Occorrente

  • Un buon libro di algebra
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Prima di partire con l'argomento, dovrete avere dei concetti chiari fondamentali. Il polinomio, in matematica, è la somma algebrica di più monomi che sono costituiti da unità differenti letterarie.
In questo passo vedremo la teoria. Il teorema degli zeri razionali deriva dal postulato del Lemma di Gauss. In base a questo principio, un polinomio, costituito da coefficienti interi, potrà essere scomponibile in fattori razionali. Conseguentemente, lo si potrà ridurre anche in interi. Da tale teoria, pertanto, il teorema degli zeri razionali considera un polinomio a coefficienti interi. Se ne ricava che ogni soluzione del polinomio, sarà esprimibile nella forma R/S. Ma questo che cosa vuol dire? Semplicemente che R equivale al divisore del termine n0 del polinomio. Invece, S corrisponde al divisore del coefficiente Nn.

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Qua vedremo la dimostrazione. Se si parte dalla radice R/S, potrete mettere in atto proprio tale dimostrazione del teorema degli zeri razionali. Prima di tutto dovrete riscrivere il polinomio vostro usando tutti i termini interi. Ovvero: (Rx – S) ∙ (Nn-1x^n-1 + … + n0). Vi dovrete ricordare che 2 polinomi risultano uguali soltanto se tutti i loro termini coincidono. Non dovrete considerate i coefficienti intermedi proseguendo col calcolo del prodotto.
Nn = Nn-1 ∙ S = n0 ∙ R. Dal risultato che si ottiene, si estrapolerà il teorema degli zeri razionali.

Continua la lettura
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In quest'ultimo passo invece, vedremo R/S radice di polinomio.
Pensate che la frazione R/S corrisponde ad una delle radici del polinomio, ridotta in termini minimi.
Potrete proseguire, sostituendo i valori del polinomio. Perciò: Nn (R/S)^n + Nn-1 (R/S)^n-1 + Nn-2 (R/S)^n-2 + … + n1 (R/S) +n0 = 0
Ora dovrete soltanto moltiplicare tutto il polinomio per S^n.
Nn R^n + Nn-1 R^n-1∙ S + Nn-2 R^n-2 ∙ S + … + n1RS^n-1 +n0 S^n = 0. Dovrete fare attenzione: se dividete i primi coefficienti del polinomio con R, potrete dedurre che sarà possibile dividere anche l’ultimo, quindi: n0 S^n.
Siccome risultano ridotti ai minimi termini, R divide n0 e S divide Nn.
Ecco che vi abbiamo dimostrato il teorema degli zeri razionali, che vi servirà per trovare le radici di un polinomio.
Vi consigliamo di esaminare con cura i vari passaggi e di esercitarvi costantemente, sicome l’argomento è abbastanza difficoltoso. Così facendo, riuscirete a risolvere in modo facile gli esercizi correlati. Buono studio.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordate che il teorema degli zeri razionali non informa sulla presenza di eventuali radici complesse o irrazionali del polinomio.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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