Trovare Il Centro E Il Raggio Di Una Circonferenza Nel Piano Cartesiano

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tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

In questa guida parleremo di matematica, ed in particolar modo ci occuperemo di come trovare il centro ed il raggio di una circonferenza all'interno del piano cartesiano. Innanzitutto ricordate la definizione di circonferenza (in geometria e in aritmetica è fondamentale ricordare le definizioni): una circonferenza è una figura geometrica piana, di centro C (a, b) e raggio r, l’insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C formano la figura stessa. L’equazione della circonferenza di centro C (a, b) e raggio r è la seguente:
()2 ()2 2 x −a + y − b = r .
Svolgendo tutti i calcoli e ponendo − 2a = a, − 2b = b e + − r = c 2 2 2 a b si avrà
l’equazione canonica della circonferenza 0 2 2 x + y + ax + by + c = .
Le coordinate del centro sono a =-2 a; b =- 2 b; il raggio è r a b 4c 2 1 2 2 = + − con la condizione 4 0 2 2 a + b − c ³. Se:
4 0 2 2 a + b − c > si ha una circonferenza reale;
4 0 2 2 a + b − c = la circonferenza degenera nel punto C, centro della circonferenza;
4 0 2 2 a + b − c < non si ha alcuna circonferenza reale.

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Occorrente

  • carta
  • penna
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Innanzitutto, è meglio compiere una precisazione preliminare perché sappiate esattamente di cosa stiamo trattando: quello di cui parleremo oggi non si tratta di una vera funzione. Dunque, detto ciò, analizziamo quella che è la corretta formula di una circonferenza con il centro nell'origine: x^2 più y^2 - r^2 = 0, dove r è il raggio. Se invece non ha il centro nell'origine, la sua formula generica è x^2 più y^2 più ax più by più c = 0, ma la sia può trovare anche in quest'altra forma, che, fatti i calcoli, è uguale alla prima: (x - x0)^2 più (y - y0) Rette tangenti ad una circonferenza • P (x0; y0) interno alla circonferenza C ® nessuna tangente per P • P (x0; y0) giace sulla circonferenza C ® una sola tangente per P • P (x0; y0) esterno alla circonferenza C ® due rette tangenti per P Nel secondo caso l’equazione dell’unica tangente si può ottenere con la regola dello sdoppiamento: 0 2 2 0 0 0 0 + = + + + + + c y y b x x xx yy a essendo 0 2 2 x + y + ax + by + c = l’equazione di C e P (x0; y0) il punto appartenente a C. Nel terzo ed ultimo caso le equazioni delle tangenti si possono ottenere con uno dei due seguenti metodi che ora analizzeremo nel dettaglio. Vediamo dunque quello che è il primo metodo dei due che esistono e che vedremo oggi: nel primo metodo si impone che la distanza tra il centro C della circonferenza e la retta generica passante per P (x0; y0), y-y0=m (x-x0), sia uguale al raggio di C: si ottiene una equazione in m che, risolta, fornisce m1 ed m2 , coefficienti angolari delle rette tangenti t1 e t2. Vediamo invece ora il secondo metodo: seguendo questo metodo si imposta il sistema tra l’equazione della circonferenza e la retta generica per P; ottenuta per sostituzione l’equazione di 2° grado, se ne calcola il D e si impone che sia uguale a zero (la condizione D = 0 è detta “condizione di tangenza”): ciò fornisce l’equazione in m che, risolta, porta ad ottenere m1 ed m2 coefficienti angolari delle rette tangenti t1 e t2. Osservazione. Il 1° e il 2° metodo possono anche essere usati per il caso in cui P appartiene alla circonferenza.^2 - r^2 = 0.

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Un buon consiglio che mi sento di darvi è quello di ricordare sempre e comunque che, nella prima formula geometrica (quella senza le parentesi) x^2 e y^2 hanno sempre il coefficiente uguale a uno (1); detto con delle parole più comprensibili, x^2 e y^2 hanno sempre coefficiente numerico identico, che quindi si può semplificare. Infatti, nel caso che il coefficiente dei due fattori sia differente da uno, per portarlo uguale ad uno basterà dividere tutta l'equazione per tale numero. Per esempio, facciamo caso che ci troviamo davanti alla seguente equazione che rappresenta una circonferenza specifica: 4x^2 più 4y^2 più 16x più 12y - 4 = 0; ecco dunque che ci sbarazziamo del coefficiente dividendo per tutta la equazione per il numero 4, cioè il coefficiente. Diventa così x^2 più y^2 più 4x più 3y - 1 = 0, che è una circonferenza nella prima forma del passo Uno. Se i due coefficienti di x^2 ed y^2 sono diversi tra loro, dovrete calcolare il minimo comune multiplo dei due numero (ad esempio tra 4 e 5, il minimo comune multiplo è 20, e dunque dovrete dividere tutta l'equazione della circonferenza per il numero 20).

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Per poter trovare correttamente, quindi, sia le coordinate del punto al centro della circonferenza che il valore del raggio di tale circonferenza, si possono usare due semplici formule (che però dovrete sforzarvi di memorizzare al meglio). La formula corretta per poter trovare le esatte coordinate del centro è la seguente: x0 = -a / 2; y0 = -b / 2, e quindi il nostro centro non avrà altre coordinate se non che C (x0; y0). Nel nostro esempio di prima - x^2 più y^2 più 4x più 2y - 2 = 0 - già semplificato, a ha il valore di 4, mentre b = 3. Quindi x0 = - 4 / 2 = - 2, mentre y0 = - 3 / 2 (meno tre mezzi). Il centro C avrà come coordinate C (- 2; - 3 / 2).

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Per il poter calcolare con esattezza e con precisione il valore corretto del raggio della nostra figura piana a circonferenza, utilizziamo quella che è la formula: r = radice quadrata di (x0^2 più y0^2 - c). Sfruttando come sempre lo stesso medesimo esempio, dove x0 = -2; y0 = - 3 / 2 e c=2 il raggio sarà: r = radice quadrata di (4 più 9/4 - 4). Se trovate la circonferenza sotto quest'altra forma (x - x0)^2 più (y - y0)^2 - r^2 = 0, è molto più facile. Per questo è molto rara. Naturalmente, come s'intende anche, la parte finale è il quadrato del raggio, perciò avete già risolto uno dei due problemi. Per il centro vale la stessa regola di prima, quindi C (x0; y0). Vediamo nella conclusione di questa guida alcuni esempi caratteristici perché possiate comprendere nel migliore dei modi come trovare il centro e il raggio Di Una Circonferenza Nel Piano Cartesiano. Dunque, esempio numero uno: Determinare l’equazione della circonferenza di centro C (1;-2) che passa per il punto P (2;3). Essendo: r = PC = 2 2 1 + 5 = 26, l’equazione richiesta è (x-1)2+(y+2)2=26 2) Determinare l’equazione della circonferenza passante per A (1;2), B (3;-2), C (5;1). L’equazione cercata è del tipo: 0 2 2 x + y + ax + by + c = che, dovendo essere soddisfatta dalle coordinate dei tre punti, da luogo al sistema 1+4+a+2b+c=0 9+4+3a-2b+c=0 25+1+5a+b+c=0 Risolvendo il sistema si trova a = - 7 38; b = - 7 5; c = 7 13. Pertanto, l’equazione della circonferenza richiesta è: 7x2+7y2-38x-5y+13=0 3) Data la circonferenza di equazione x2+y2 = 4, condurre le tangenti dal punto A (0 ; -2 2). Metodo 1 La retta generica passante per A ha equazione y + 2 2 = m (x – 0) che in forma implicita è: m x – y - 2 2 = 0 d = r ® 1 2 2 2 m + = 2 ® 2 = 1 2 m + ® m2 = 1 ® m = ±1…. Metodo 2 Imposto il sistema formato dall’ equazione della retta e della circonferenza, si ha: y + 2 2 = m x x2+y2 = 4 Ricavando y dalla 1° equazione e sostituendolo nella seconda si ottiene l’equazione (1+m2) x2 - 4 2 m x + 4 = 0 di cui calcolo il discriminante che pongo uguale a zero. D=0 ® 8m2 – 4 (1+m2) = 0 ® m2 = 1 ® m = ±1. Il punto A si trova posizionato all'esterno della circonferenza ® le due rette tangenti hanno le seguenti formule: y = x - 2 2 ed y = -x - 2 2 . 4) Dire se l’ equazione x2+y2+2x-4y+8=0 rappresenta una circonferenza. Poiché a2+b2 - 4c = 4+16-32<0, l’equazione non rappresenta una circonferenza.

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