Triangoli degeneri e triangoli ideali

Con questa guida vengono presentati due concetti particolari di triangolo: triangoli degeneri e triangoli ideali. Innanzitutto partiamo dalle basi, chiarendo cosa è un triangolo. Il triangolo è una figura geometrica piana costituita da tre angoli e da tre lati; la somma dei suoi angoli interni è 180 gradi. Esso è la figura con il minor numero di lati, dato che tre è il numero minimo di lati necessari per delimitare una superficie chiusa, non esistendo infatti poligoni con uno o due lati. Altra prepogativa fondamentale di un triangolo è che all'interno di esso non è possibile tracciare diagonali. Queste caratteristiche di base valgono per tutti i triangoli, sia se si tratti di triangoli rettangoli, isosceli, equilateri o scaleni. I triangoli degeneri ed i triangoli ideali rappresentano due casi estremi in cui si colloca tutta la casistica dei triangoli. Quando si realizza una delle due condizioni limite, non siamo più in presenza di una figura geometrica, ma di un concetto astratto. Sebbene inizialmente possa sembrare complicato, nella guida che segue cercheremo di chiarire il concetto dei triangoli degeneri e triangoli ideali, spiegando un passo alla volta cosa fare. Iniziamo.

• Manuale di geometria piana delle scuole superiore
• Conoscenza delle regole di geometria di base
• Quaderno e penna per appunti

Iniziamo spiegando passo dopo passo, cercando di essere più semplici possibili, cosa si intende per triangolo degenere. Sia dato un triangolo equilatero (ossia un triangolo con tutti gli angoli e tutti i lati uguali), avente i due vertici alla base denominati rispettivamente A e C, mentre il vertice in alto sia B; chiameremo "h" l'altezza di tale triangolo. Supponiamo di prendere il vertice B e avvicinarlo sempre più al segmento di base AC, cosicché l'altezza h diventi sempre più piccola: in questo modo gli angoli alla base avranno un'ampiezza sempre più minore, viceversa l'angolo al vertice B subirà un aumento di ampiezza. La situazione raggiunge il suo limite quando il vertice B, in seguito alla continua diminuzione di h, si trova a giacere sul segmento AC. In questo caso l'angolo in B è arrivato a valere 180 gradi mentre i due angoli in A e in C sono pari a zero. Questo è un triangolo degenere, vale a dire che il triangolo è degenerato in un segmento.

Quest'altro punto è dedicato alla spiegazione del triangolo ideale, il quale altro non è che il concetto inverso del triangolo degenere. Cominciamo la spiegazione prendendo sempre in considerazione un triangolo rettangolo, con le analoghe caratteristiche al quello del punto precedente (vertici alla base denominati rispettivamente A e C, vertice in alto denominato B, altezza denominata "h"). Ebbene, prendiamo sempre il vertice B, ma questa volta lo spostiamo verticalmente verso l'alto, lungo la retta perpendicolare al segmento di base AC e passante per quest'ultimo e il vertice B. Facendo ciò, man mano che il vertice B si allontana dal segmento di base AC, gli angoli alla base aumenteranno la loro ampiezza, tendendo verso l'ampiezza limite di 90 gradi; per lo stesso motivo, i due lati AB e CB tenderanno ad essere paralleli, senza mai esserlo effettivamente. In tale caso limite, in cui il vertice B è posto all'infinito, si parla di triangolo ideale.

Triangoli degeneri e triangoli ideali non sono veri e propri triangoli. Se usciamo per un attimo dalla concezione di figura geometrica piana in senso stretto - ossia di una figura ferma, con contorni e posizione ben definita - e ci immergiamo in una concezione più dinamica, forse riusciamo a capire a fondo il significato di questi "triangoli". Ad esempio bisogna immaginare il triangolo degenere come il tendere sempre più a far avvicinare il vertice in alto B al segmento di base AC, senza mai farli coincidere del tutto; allo stesso modo il triangolo ideale è il tendere sempre più all'infinito il vertice in alto B, senza mai rendere veramente paralleli i segmenti AB e AC. In questo modo si può capire che il concetto di triangolo degenere o ideale non ha una vera e propria forma, piuttosto è una concezione astratta della geometria, attraverso cui poter spiegare altri teoremi o postulati. In sostanza? I triangoli degeneri e triangoli ideali sono solo concetti, non vere e proprie figure.

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