Trasformata di Fourier. Calcolo e proprietà

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è una delle materie più difficile da comprendere all'interno del panorama scolastico, e sono moltissimi gli studenti che hanno difficoltà ad apprendere fino in fondo alcuni concetti fondamentali appartenenti a tale disciplina. Al giorno d'oggi, per fortuna, internet viene incontro a tutti quelli studenti con difficoltà nell'apprendimento matematico mettendo a loro disposizione guide teoriche e tutorial pratici sulle generalità e sulla risoluzione dei quesiti matematici più ostici, proprio come in questo caso. Nello specifico, vediamo un'analisi della Trasformata di Fourier alternando calcolo e proprietà.

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Occorrente

  • Carta e penna
  • Un buon libro di testo di analisi matematica
  • Formulario di analisi matematica
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Generalità sulla trasformata di Fourier

La "trasformata di Fourier" è un operatore invertibile applicabile ad alcune funzioni, segnali e distribuzioni. È invertibile in quanto prevede anche un'anti-trasformata, ovvero l'operazione inversa. Il calcolo della trasformata genera funzioni più semplici e regolari, e per indicare la trasformata della funzione si scrive "FT" ("Fourier Transform"). Al contrario, per indicare l'anti-trasformata si scrive "iFT" ("inverse Fourier Transform"). Proseguiamo con l'enunciato del teorema.

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L'enunciato del teorema

Vediamo l'enunciato del teorema. Sia x (t) un segnale sommabile nell'intervallo [a, b] contenuto in R (campo reale) e con valore in C (campo complesso); la trasformata del segnale sarà data da: "FT (x (t)) = int -/+inf di (x (t) * e^(-j w t)) dt = X (w)", dove per "int -/+inf" intendiamo l'integrale da meno a più infinito. "j" sarà la parte immaginaria.

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L'enunciato del teorema nel caso dell'anti-trasformata

Vediamo ora l'enunciato nel caso dell'anti-trasformata. Sia X (w) un segnale contenuto in R e che abbia valore in C; iFT (X (w)) = 1/(2*pigreco) * int -/+inf di (X (w) * e^(j w t)) dw = x (t). Ma attenzione: l'anti-trasformata ha senso solo se X (w) è sommabile. Vediamo ora alcuni esempi notevoli che vi permetteranno di capire meglio l'argomento.

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Esempi pratici

Vediamo alcuni esempi. La trasformata di Fourier di: Delta (t) = 1; Gradino unitario centrato in 0 = 1/(j w) + pigreco * delta (w);
Porta di periodo T centrata in 0 ossia P_T (t) = T * sin (wT/2) / (wT/2);
1 = 2 pigreco * delta (w);1/t = - pigreco * j * sign (w) (dove con sign indichiamo il "signum");
1/(1+t^2) = pigreco * e^(meno il modulo di w);
sin (t) = j pigreco (delta (w+1) - delta (w-1));
cos (t) = pigreco (delta (w+1) - delta (w-1)).

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Le proprietà della trasformata di Fourier

Vediamo ora le proprietà della trasformata di Fourier.
La "linearità" afferma che "FT [a x (t)] = a FT (x (t))"; la "traslazione in frequenza" afferma che "FT [ x (t) * e^(-j a t) ] = FT x (t) con w = w-a"; la "traslazione nel tempo" afferma che "FT x (t-a) = e^(-j a t) * FT x (t)";
il "riscalamento" afferma che "FT x (at) = 1/a * FT x (t) con w = w/a"; la "derivata 1" afferma che "FT [ t^p * x (t) ] = j^p * Derivata p-esima [ FT x (t) ]"; la "derivata 2" afferma che "FT [ Derivata p-esima x (t) ] = (j * w)^p FT x (t)";
il "coniugato" afferma che "FT x*(t) = FT x (t) con w = -w", dove con x*(t) intendiamo il coniugato di x (t); il "prodotto" afferma che "FT [ x (t) * y (t) ] = 1/(2 pigreco) [ FT x (t) ** FT y (t) ]", dove con ** intendiamo il prodotto di "convoluzione";
la "convoluzione" afferma che "FT [ x (t) ** y (t) ] = FT x (t) * FT y (t)".

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Conclusioni

A questo punto la guida è giunta al termine. Tutto quello che dovrete fare per capire al meglio la corretta esecuzione del calcolo della trasformata di Fourier, con relative proprietà, è illustrato nei passi precedenti. Per comprendere ancor meglio l'argomento, potreste eseguire alcuni esercizi facilmente reperibili su internet riguardanti l'applicazione della trasformata di Fourier o svolgere le esercitazioni presenti all'interno dei link segnalati nella nostra guida. Abbiamo terminato la nostra guida sulla trasformata di Fourier. Per ulteriori informazioni consultate il link: http://www.mat.uniroma3.it/didattica_interattiva/aa_11_12/am310/10.fourier.pdf.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nel caso in cui non foste particolarmente pratici con la matematica, rivolgetevi ad una persona con più esperienza di voi o ad un professore specializzato nella materia in questione.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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