Tipologie di equazioni e risoluzione

Tramite: O2O 11/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia complessa e per molti può apparire proibitiva, ma si tratta ovviamente di un falso problema, perché è sufficiente avvicinarvisi con metodo per scoprire che molte delle difficoltà si superano in maniera elementare. La risoluzione delle equazioni è una delle parti più importanti della matematica e si affronta già dalle scuole medie e nel corso degli studi nelle scuole superiori come licei ed istituti tecnici. In questa guida ci preoccuperemo soltanto della risoluzione delle equazioni in forma algebrica, perché le altre, come ad esempio equazioni trascendentali, hanno bisogno di conoscenze che esulano ampiamente dalle capacità e dagli strumenti disponibili ad uno studente delle scuole superiori. In realtà il metodo per risolvere le equazioni è sempre lo stesso: capirle. La comprensione delle metodologie di risoluzione delle equazioni, poi si applica in maniera simile anche a forme integro-differenziali molto diffuse in fisica e in ingegneria, quindi una base solida è assolutamente indispensabile. Innanzitutto le equazioni si riconducono alla forma f(x)=0, che significa che dovremmo trovare tutti i valori di x che inseriti nell'espressione la rendono nulla. In alcuni casi è semplice, mentre per altri si devono effettuare molte operazioni prima di poter raggiungere l'eventuale soluzione. A seconda del tipo di equazioni le soluzioni possono essere multiple, molteplici o periodiche, se non addirittura aperiodiche come nelle forme ellittiche che si affrontano l'università. Vediamo quindi le tipologie di equazioni e i metodi base di risoluzione che si applicano alla maggior parte dei casi didattici.

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Occorrente

  • Tavole trigonometriche
  • Formulario di trigonometria
  • Carta
  • Lapis
  • Gomma per cancellare
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Equazioni polinomiali

Le equazioni algebriche non necessariamente sono le più semplici da risolvere ma sono sicuramente le più diffuse in ambito scolastico e il loro studio si inizia alle scuole elementari. Solitamente si tratta sostanzialmente di polinomi o di espressioni che si possono ricondurre a forme polinomiali. Se per esempio l'equazione fosse fratta sarà sufficiente andare a determinare i valori proibiti, ovverosia i poli del denominatore e riportare l'equazione ad una forma polinomiale più o meno complessa. A questo punto si deve andare a cercare di capire se l'espressione possa essere scomposta o ricondotta a forme note, come ad esempio per il caso delle equazioni di primo secondo e terzo grado. Per i gradi superiori purtroppo non esistono formule chiuse salvo casi rari come le biquadratiche e simili, ma in casi particolarmente fortunati l'espressione può essere ricondotta a l'intersezione tra due curve note, o in casi ancor più fortunati può essere abbassata di grado sfruttando per esempio termine a fattor comune. Si tratta in pratica di individuare le parti ricorrenti nei vari blocchi dell'equazione, per poterle ridurre oppure eliminare. Per esempio una forma del tipo x^4-x^2-x+1=0 si riporta a y=(x^2-1)(x^2+1) a sistema con y=x-1 e se ne calcola l'intersezione nei limiti del possibile. I metodi grafici però mal si adattano allo studio per le scuole, e se vengono proposti è solo a scopo didattico, perché agli studenti manca completamente il concetto di calcolo iterativo, necessario per poterli affrontare. Questi metodi prevedono di trovare due punti che formano l'intervallo che contiene la soluzione e tramite passaggi successivi di restringere l'intervallo fino eventualmente a trovare il punto preciso.

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Equazioni trigonometriche

Le equazioni trigonometriche sono in generale molto complesse da risolvere, ma si può possono usare accorgimenti particolari per ridurne la difficoltà, riportandole a forme algebriche o polinomiali. Se ad esempio tutti i termini sono gradi della stessa funzione trigonometrica sarà sufficiente sostituire la variabile con una ausiliaria e risolverla come una normalissima equazione algebrica. Per esempio tg(x)^2+2tg(x)+1=0 diventa t^2+2t+1=0 si risolve in t e poi si devono risolvere le equazioni t1=tg(x) e t2=tg(x). Dopodiché tramite l'uguaglianza si deve andare a determinare i valori e il campo di esistenza. Anche nel caso in cui l'equazione non sia perfettamente omogenea per esempio contenga seni, coseni ,tangenti con un po' di fatica si può ricondurre a forme molto più semplici trasformando le funzioni trigonometriche tramite l'uso della tangente, risolvere poi l'equazione omogenea e riportare il tutto allo studio dell'equazione alle tangenti come sopra. Ricordate poi di verificare le condizioni sui domini delle funzioni trigonometriche e sulle condizioni di esistenza, oltre che quelle sulla periodicità, una volta raggiunta la soluzione. In generale una soluzione di una equazione trigonometrica sarà scritta in una forma periodica del tipo x+k*pi/2.

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Equazioni esponenziali e logaritmiche

Anche nel caso delle equazioni esponenziali e logaritmiche esistono casi fortunati in cui è possibile andare a riportare l'equazione ad una forma più semplice per esempio per e^f(x)=k con k>0 sarà sufficiente fare il logaritmo a destra a sinistra ed è portare la forma f(x)=ln(k) andare a risolvere equazione e verificare eventualmente il campo di esistenza. Per quel che riguarda le equazione del tipo ln[f(x)]=k sarà sufficiente elevare a destra e a sinistra a potenza In modo tale da riportarsi a f(x)=e^k e risolvere l'equazione in maniera piuttosto semplice, sempre che sia possibile, dopodiché si deve andare a verificare che la f(x) soddisfi le condizioni di positività e non nullità necessari per il logaritmo. Ricordate infatti che ln(0) non ha senso. Casi in cui le funzioni si possono ricondurre a polinomi, si risolvono per sostituzione come e^2x+e^x+1=0 si risolve associandogli l'espressone t^2+t+1=0, risolvendo in t e poi riportandosi a t=e^x. Ricordate anche qua che si devono rispettare le condizioni di esistenza, quindi t>0, altrimenti il risultato è completamente privo di senso.

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Equazioni con radicali

Le equazioni con radicali sono ostiche e tediose. Per prima cosa si devono rendere i termini il più omogenei possibili, per fare in modo di poter eliminare i radicali con incognite al loro interno. Radicali senza incognite sono numeri, e non costituiscono un vero problema. Se si riesce a riportarsi nella forma rad[f(x)]=g(x) dove g(x) non contiene radicali, sarà sufficiente un elevazione a potenza di entrambi i termini, la risoluzione delle equazioni e la verifica delle condizioni di esistenza, cioè che le radici non violino l'esistenza della radice. Se la forma dovesse essere più complessa, si deve procedere per passi graduali come sopra, effettuando elevamenti a potenza successivi e progressivi per eliminare i radicali, sempre che si intuisca la possibilità di una soluzione algebrica. Ricordatevi poi che una volta raggiunta l'eventuale soluzione, si devono verificare tutte le condizioni di esistenza, come quelle sulle radici di ordine pari.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Non prendete "di punta" le equazioni, ma giocate di ingegno per ricondurle a forme note.
  • Non usate programmi per risolvere le equazioni perchè non imparerete nulla.
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