Teoremi di Gerschgorin: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Tra i vari teoremi studiati nella scuola odierna, bisogna sicuramente tener conto dei "Teoremi di Gerschgorin". Inizalmente, la dimostrazione di questo specifico teorema potrebbe sembrarvi piuttosto complessa, ma con un po' di attenzione ed impegno potrete sicuramente comprendere da soli tutto il necessario per svolgere la dimostrazione. In questo modo, non solo sarete soddisfatti per il risultato ottenuto, ma potrete anche risparmiare il vostro prezioso denaro, infatti facendo tutto da soli non dovrete rivolgervi ad un professore di matematica per farvi impartire delle lezioni privati, il più delle volte troppo costose. Dunque, continuate leggere attentamente i semplici passi di questa guida, per comprendere in modo utile e veloce il teorema di gerschgorin: dimostrazione.

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"x-esimo" cerchio di Gershgorin:

In questo schema, il cerchio rappresenta esattamente una matrice ben delineata tra un elemento diagonale e la somma dei moduli (a esso esterni) comprendenti la circoscrizione di un sottoinsieme relativo al piano complesso, che risulterà corrispondente ad un disco di raggio centrato, chiamato in questo caso "x-esimo" cerchio di Gershgorin della matrice "A".

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Prima fase del teorema di Gershgorin:

Seguendo questo ragionamento, potrete infatti dimostrare la prima fase del teorema così: sia A 2 R n£n e ¸ un autovalore di A avremo¸ 2[ni=1Zi; Zi = fz 2 C: jz ¡ aiij · Xnj=1j6=ijaijj| {z }rig. Gli Zi rappresentano precisamente i cerchi quindi ¸ 2 ¾(A) più x come autovettore corrisponde a ¸, k indice di x per cui jxkj = max1·j·n jxjj = kxk1. Dalla relazione Ax = ¸x consideriamo l'equazione k¡esima che da Xn j=1 akjxj = ¸xk; Xn j=1j6=kakjxj + akkxk = ¸xk; (¸ ¡ akk) xk =Xnj=1j6=kakjxj; j¸ ¡ akkj jxkj · Xnj=1j6=kjakjj jxjj; j¸ ¡ akkj · Xnj=1j6=kjakjjjxjjjxkj|{z}·1·Xnj=1j6=kakjj = rk; dunque ¸ 2 Zk.

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Seconda fase del teorema di Gershgorin:

Il secondo teorema invece afferma che, se l'unione C1 di k cerchi µe viene disgiunta dal sodalizio C2 degli elementi restanti, n ¡ k saranno allora k autovalori di un singolo conto molteplice, appartenenti rispettivamente a C1 e a C2. Se l’unione risulta disgiunta da rimanenti n − k, e quindi se C1= 81 Ki C2=8, 1< Ki C1∩C2=0 avremo k autovalori appartenenti a C1 e n −k a C2, in quanto risultano essere esattamente due insiemi sicuramente non congiunti.

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Terza fase del teorema di Gershgorin:

La terza affermazione di Gershgorin stabilisce invece una matrice chiamata precisamente "irriducibile" rappresentata così: n e un autovalore β sull'unione dei cerchi stabiliti, in quanto Ki, i=1…. N. Il terzo e ultimo teorema viene solitamente utilizzato per richiamare la dimostrazione riguardante l'esplicazione della non singolarità delle "matrici di Poisson". In questo caso si definisce irriducibilità ciò che non può essere ridotto, ad esempio così: n ≥ 2 è riducibile soltanto se risulta esistente la permutazione ∏ e un determinato intero k, 0 < k < n favorevole di B =∏= ∏ T = > =11 =12 0 =22? Dove A1,1 ∈ Ck×k, A12,2 ∈ C (n−k) ×(n−k).
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