Teorema fondamentale dell'aritmetica: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica, e quindi anche l'aritmetica che di essa fa parte, è considerata da molte persone una materia difficile. Altre invece ritengono questa disciplina meravigliosa riuscendo quasi a creare un legame con i numeri. "Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi" è questo il teorema fondamentale dell'aritmetica. Questo principio va memorizzato e tenuto sempre fisso nella memoria perché è da ciò che ha origine tutto. Per dare una dimostrazione più percepibile e più veritiera nei seguenti passi abbiamo approfondito questo teorema facendo anche dei pratici esempi.

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Spiegazione della regola

Il teorema fondamentale dell'aritmetica è composto da due proposizioni. La prima appunto ci indica che esistono molti numeri naturali cosiddetti primi, mentre la seconda frase afferma che tutti gli altri numeri naturali derivano dalla somma o dal prodotto di due o più numeri primi. Quindi per dare una dimostrazione di quanto affermato è possibile operare secondo la scomposizione del numero in fattori primi.

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Scomposizione di un numero reale

Innanzitutto dobbiamo ricordare che tutti i numeri primi risultano divisibili soltanto per 1 e per se stessi, quindi se il numero reale da scomporre in fattori primi è un numero naturale qualsiasi avrà almeno un divisore che è tra i cosiddetti numeri primi. Grazie a questa deduzione, possiamo procedere alla dimostrazione: supponendo vero quanto detto per i numeri da 2 ad "n", è possibile dimostrare, per induzione, che questo vale anche per "n+1". Esso può essere un numero primo, oppure è divisibile per un numero "m", con 2 proprietà transitiva, dunque, sarà divisore anche di "n+1". Se ne deduce che se "n+1" non è primo, allora è divisibile per un numero primo. Procedendo ancora per induzione, supponendo vera la fattorizzazione per l'insieme di numeri che va da 2 ad "n", allora procediamo la dimostrazione per "n+1". Se "n+1" è primo, allora è banalmente fattorizzato, mentre se, come precedentemente dimostrato, è divisibile per un numero primo "p", allora a=(n+1)/p sarà comunque minore di "n+1" e, quindi, appartenente all'insieme che va da 2 ad "n".

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Unicità della fattorizzazione

La dimostrazione dell'unicità della fattorizzazione, invece, si ottiene procedendo per assurdo: supponiamo che esistano dei numeri scomponibili in più di un modo, e che tra questi numeri il più piccolo sia "m". Date due fattorizzazioni diverse di "m", i numeri primi di una fattorizzazione sono tutti differenti da quelli dell'altra, come ad esempio m=p1p2p3... Ps ed m=q1q2q3... Qt, dove pi e qj sono primi e diversi tra loro. Sostituendo la prima delle due fattorizzazioni di "m" nell'equazione di cui al passo precedente, avremo che n=p1p2p3... Ps-p1q2q3... Qt, che, mettendo in evidenza p1, diventa n=p1(p2p3... Ps-q2q3... Qt). In qualunque modo, quest'ultima, sia fattorizzabile, avremo ottenuto una fattorizzazione di "n" che contiene p1, contrariamente a quanto appena affermato (p1 non può essere divisore di q1). In questo modo, è dimostrata l'unicità.

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