Teorema ergodico: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Non è facile dare una semplice definizione di teoria ergodica perché utilizza le tecniche e gli esempi da molti campi quali la teoria delle probabilità, statistica meccanica, teoria dei numeri, campi vettoriali su varietà, le azioni del gruppo di spazi omogenei e molti altri. La parola ergodico è una miscela di due parole greche: Ergon (lavoro) e Odos (il percorso). Il termine è stato introdotto da Boltzmann (in meccanica statistica) per quanto riguarda la sua ipotesi: per grandi sistemi di particelle interagenti in equilibrio, la media temporale lungo una traiettoria singola pari alla media dello spazio. Ecco quindi la dimostrazione del teorema ergodico.

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L'ipotesi come è stato detto era falsa, e l'indagine per le condizioni in base al quale queste due quantità sono uguali portate alla nascita della teoria ergodica, come è noto oggigiorno. Una descrizione moderna di questa teoria ergodica sarebbe: lo studio del comportamento medio lungo il termine dei sistemi in evoluzione nel tempo. La collezione di tutti gli stati del sistema nel formare uno spazio X, e l'evoluzione è rappresentata da entrambe le trasformazioni.
Una trasformazione T: X → X, dove Tx è lo stato del sistema in un tempo t = 1, quando il sistema (cioè, al tempo t = 0) è stato inizialmente nello stato x. (Questo è analogo alla configurazione dei processi stocastici dei tempi discreti).

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Se l'evoluzione è continua o se le configurazioni hanno una struttura spaziale, tutto questo descrive l'evoluzione, cercandola in un gruppo di trasformazioni G (come Z2, R, R2) Agisce su X, cioè ogni g ∈ G viene identificato con una trasformazione Tg: X → X, e Tgg0 = Tg ◦ Tg0. Quindi una delle introduzione preliminari è che lo spazio X di solito ha una struttura speciale, e preferiamo volere T per preservare la struttura di base su X.

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Ad esempio
-Se X è uno spazio di misura, allora le variabili T devono essere misurabili.-se X è uno spazio topologico, allora la variabile T deve essere continua.-Se X ha una struttura differenziabile, allora T è un diffeomorfismo. In questo corso il nostro spazio è uno spazio di probabilità (X, B, μ), e il nostro tempo è discreto. Così l'evoluzione è descritta da una mappa misurabile T: X → X, in modo che T-1A ∈ B per tutti gli A ∈ B. Per ogni x ∈ X, l'orbita di x è la sequenza x, T x, T2x. Se T è invertibile, allora si parla dei due lati dell'orbita T -1x, x, T x. Vogliamo anche che l'evoluzione è in stato stazionario ossia stazionario. Nel linguaggio della teoria ergodica, vogliamo che sia T ad essere una misura da preservare.
Ecco quindi dimostrato il teorema ergodico.

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