Teorema di Stokes: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nella geometria differenziale, ossia lo studio di oggetti geometrici come curve e superfici, il Teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali. In particolare è volto a generalizzare i teoremi di calcolo vettoriale come il “Teorema della divergenza” e il “Teorema del rotore". Infatti il teorema di Stokes è detto anche Teorema circuitazionale. Questo teorema si applica in molte materie come analisi 2, geometria, Meccanica scienze delle costruzioni e cosi via. Ecco la dimostrazione del teorema di Stokes.

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Calcolo integrale

Prima di analizzare il teorema di Stokes occorre considerare il teorema fondamentale del calcolo integrale che ci permette in modo abbastanza semplice di calcolare gli integrali definiti. Questo stabilisce che se "f" è una funzione reale che ammette primitiva su un intervallo [a, b], l'integrale di "f" su tale intervallo può essere calcolato tramite una sua primitiva (IMG1).

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Enunciato del Teorema di Stokes

La circuitazione di un campo vettoriale "A" lungo una arbitraria linea chiusa "y" appartenente al dominio "D" di definizione del campo è pari al flusso del rotazionale del campo medesimo attraverso una qualunque superficie "S" avente per contorno la linea "y". Pertanto considerando che "S" sia una superficie orientata di dimensione "m" in Rn, e "dS" sia la sua frontiera con orientazione indotta, ossia una superficie (m- 1) - dimensionale orientata, e "w" sia una (m-1) - forma differenziale definita in un intorno di "S", considerando il suo differenziale "dw" come m - forma differenziale (derivata esterna), vale allora la formula di Stokes (IMG2). Ovvero, l'integrale di ogni forma differenziale a supporto compatto "w" sulla frontiera di una varietà orientata "S" è pari all'integrale della sua derivata esterna "dw" valutato su tutta "S".
Elemento fondamentale e determinante per il teorema è che "S" deve essere a connessione lineare semplice. Il teorema di Stokes è un teorema che analizza anche il flusso del rotore, più in particolare riguarda le forme differenziali in generale.

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Versione in "R3" del Teorema di Green

Si può inoltre affermare che il Teorema di Stokes è la versione in "R3" del Teorema di Green: se la superficie "S" giace nel "piano xy" e il campo "F" è della forma F (x, y) = F1(x, y) i + F2(x, y) j, allora IMG4 - a non è altro che IMG4 - b.
Per comprendere al meglio il calcolo del teorema di stokes è sempre bene effettuare delle raffigurazione grafiche che riportano i calcoli o le dimostrazioni matematiche.
Si ricorda infine, che la superficie S può effettivamente essere qualsiasi superficie finché la sua curva di delimitazione sia data da C. Questo è qualcosa che può essere usato a proprio vantaggio per semplificare la superficie integrale in occasione.

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