Teorema di Schwartz: dimostrazione

Il teorema di Schwartz è un importante teorema dell'analisi matematica particolarmente utilizzato nello studio delle variazioni di funzioni a più variabili. È ad esempio usato in meccanica strutturale per dimostrare il significato fisico di materiale simmetrico, ovvero di materiale avente comportamento simmetrico a seconda della direzione dello sforzo che subisce; oppure in qualsiasi altro comportamento fisico o matematico descrivibile sotto forma di matrice simmetrica. Illustriamo ora l'enunciato per passare poi alla dimostrazione del Teorema di Schwartz.

Sia "f" una funzione appartenente ad un insieme aperto "I" ed incluso nel piano "R^2". Se f ammette derivate seconde miste, allora queste coincidono in ogni punto P ovvero d^2f/(dxdy) = d^2f/(dydx). Ciò vuol dire che invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia. Definiamo però in parole più semplici quali informazioni e quali risultati otteniamo con questo teorema.

Prendiamo il punto P di coordinate (Xo, Yo) appartenente ad I e due numeri reali W>0 e Q>0 tali che le coordinate (Xo-W; Xo+W) x (Yo-Q; Yo+Q) siano incluse in I (e ciò è possibile grazie all'ipotesi di intervallo aperto) e definiamo le funzioni F: (-W;+W) e G: (-Q;+Q), appartententi all'insieme dei numeri reali, in modo che F (t)= f (Xo+t; Yo+s)-f (Xo+t; Yo) per ogni s compreso tra (-Q, Q) e G (s)= f (Xo+t; Yo+s)-f (Xo; Yo+s) per ogni t compresa tra (-W, W).

Illustrazione dell'enunciato e del teorema: per prima cosa dobbiamo considerare che stiamo studiando una funzione a due o più variabili e quindi abbiamo appunto due o più variabili che implicano l'esistenza di due derivate prime pure (df/dx e df/dy) e conseguentemente (ammettendo ancora la loro esistenza) due derivate seconde pure (d^2f/dx^2 e d^2f/dy^2) e due miste (d^2f/(dxdy) e d^2f/(dydx)). Nelle funzioni in due variabili si definisce aperto quell'intervallo in cui è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. Su un piano cartesiano la funzione che rispetta tale definizione è quella di una circonferenza, per cui in uno spazio 3D il nostro intorno è una sfera! (delimitata da una propria "frontiera"). Secondo Schwarz allora, se esistono derivate seconde miste di una funzione compresa in un insieme aperto, allora queste sono tra loro identiche e quindi l'ordine di derivazione per queste è indifferente.

• Consiglio di studiare i fondamenti di analisi 2 prima di affrontare questa dimostrazione.

• Dimostrazione del teorema di James