Teorema di Schwartz: dimostrazione

Tramite: O2O 02/06/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il teorema di Schwartz è un importante teorema dell'analisi matematica particolarmente utilizzato nello studio delle variazioni di funzioni a più variabili. È ad esempio usato in meccanica strutturale per dimostrare il significato fisico di materiale simmetrico, ovvero di materiale avente comportamento simmetrico a seconda della direzione dello sforzo che subisce; oppure in qualsiasi altro comportamento fisico o matematico descrivibile sotto forma di matrice simmetrica. Illustriamo ora l'enunciato per passare poi alla dimostrazione del Teorema di Schwartz.

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L'enunciato

Sia "f" una funzione appartenente ad un insieme aperto "I" ed incluso nel piano "R^2". Se f ammette derivate seconde miste, allora queste coincidono in ogni punto P ovvero d^2f/(dxdy) = d^2f/(dydx). Ciò vuol dire che invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia. Definiamo però in parole più semplici quali informazioni e quali risultati otteniamo con questo teorema.

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La dimostrazione

Prendiamo il punto P di coordinate (Xo, Yo) appartenente ad I e due numeri reali W>0 e Q>0 tali che le coordinate (Xo-W; Xo+W) x (Yo-Q; Yo+Q) siano incluse in I (e ciò è possibile grazie all'ipotesi di intervallo aperto) e definiamo le funzioni F: (-W;+W) e G: (-Q;+Q), appartententi all'insieme dei numeri reali, in modo che F (t)= f (Xo+t; Yo+s)-f (Xo+t; Yo) per ogni s compreso tra (-Q, Q) e G (s)= f (Xo+t; Yo+s)-f (Xo; Yo+s) per ogni t compresa tra (-W, W).

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Il teorema

Illustrazione dell'enunciato e del teorema: per prima cosa dobbiamo considerare che stiamo studiando una funzione a due o più variabili e quindi abbiamo appunto due o più variabili che implicano l'esistenza di due derivate prime pure (df/dx e df/dy) e conseguentemente (ammettendo ancora la loro esistenza) due derivate seconde pure (d^2f/dx^2 e d^2f/dy^2) e due miste (d^2f/(dxdy) e d^2f/(dydx)). Nelle funzioni in due variabili si definisce aperto quell'intervallo in cui è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. Su un piano cartesiano la funzione che rispetta tale definizione è quella di una circonferenza, per cui in uno spazio 3D il nostro intorno è una sfera! (delimitata da una propria "frontiera"). Secondo Schwarz allora, se esistono derivate seconde miste di una funzione compresa in un insieme aperto, allora queste sono tra loro identiche e quindi l'ordine di derivazione per queste è indifferente.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consiglio di studiare i fondamenti di analisi 2 prima di affrontare questa dimostrazione.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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