Teorema di Ruffini: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

All'interno della guida che andremo a sviluppare ci occuperemo di matematica, in quanto, come abbiamo indicato nel titolo che contraddistingue questa guida, ci concentreremo su un teorema specifico: il teorema di Ruffini. Il nostro obiettivo sarà quello di dare una dimostrazione del funzionamento del teorema stesso. Cominciamo immediatamente.
Il "Teorema di Ruffini" è un teorema di fondamentale importanza nella scomposizione di un polinomio di grado n. Quando esso non può essere apparentemente scomposto in polinomi di grado minore tramite regole note. Esso perciò è l'ultima tecnica da adoperare, quasi un'ancora di salvezza, nella scomposizione dei polinomi di grado qualsiasi. In questa guida verranno esposti gli strumenti necessari alla comprensione di questo teorema, di cui si fornisce anche la dimostrazione.

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Occorrente

  • Teorema di Ruffini
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L'introduzione del teorema

Come abbiamo appena spiegato lungo il passo che è andato a introdurre la tematica che svilupperemo, ora andremo a cominciare la dimostrazione relativa al teorema di Ruffini. Partiamo dicendo che la divisione euclidea con resto relativa a un polinomio N (x) per un secondo polinomio D (x) è la ricerca di due polinomi, che chiameremo come Q (x) e R (x), che verranno denominati rispettivamente come quoziente e resto, in modo tale che si dimostrino valide le tre condizioni poste nello stesso momento.

1) N (x)=D (x)*Q (x)+R (x);
2) gr[R (x)] ≥ 0;
3) gr[R (x)] ≤ gr[D (x)];

-Un numero a si dice "radice o zero di un polinomio" N (x) se quest'ultimo viene annullato da a, ossia N (a)=0.
-Dati due polinomi N (x) e D (x) si dice che N (x) "è multiplo" di D (x) (oppure che D (x) è "sottomultiplo" di N (x)) se il resto della divisione euclidea di N (x) per D (x) è zero, ossia N (x) è multiplo di D (x) se esiste un polinomio M (x) che soddisfa l'uguaglianza N (x)=D (x) M (x).

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La dimostrazione del Teorema dei resti

Per poter riuscire a comprendere questo teorema, dovremo andare a ricorrere a questo specifico enunciato, nonché alla dimostrazione di un secondo teorema, denominato come teorema del resto. L'enunciato che ho accennato prima è il seguente: dati un polinomio N (x) ed un binomio D (x)=x+a, il resto della divisione di N (x) per D (x) è il numero R=N (-a). Poiché il divisore di D (x) è un polinomio di primo grado e il resto R (x) della divisione tra N (x) e D (x) deve sempre essere di grado minore del divisore D (x), R (x) sarà di grado 0. In altra parole R non dipende dalla variabile x. Per questo motivo si chiama R (x) semplicemente R.
N (x) = D (x) Q (x)+R = (x+a) Q (x)+R
Possiamo tranquillamente affermare che questa specifica condizione di uguaglianza sia sempre valida, aldilà del valore relativo alla x, che può essere variabile. Nel caso in questione, scegliamo come valore di x = -a.
N (-a) = (-a+a) Q (-a)+R = R Dunque: R=N (-a). Proprio per questa motivazione, possiamo affermare che è stata verificata la veridicità, e quindi la validità del teorema del resto.

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La dimostrazione del Teorema di Ruffini

Spostiamoci a questo punto al teorema di Ruffini, con questo enunciato: dato un polinomio P (x) e un binomio A (x) = x+a, valgono le seguenti proprietà:
1) se P (-a)=0 allora P (x) è multiplo di A (x);
2) se P (x) è multiplo di A (x) allora P (-a)=0.
Date queste condizioni, passiamo alla dimostrazione di detto teorema:
1) se P (-a)=0, allora per il "teorema del resto", R=0, dunque P (x) è multiplo di A (x);
2) se P (x) è multiplo di A (x), allora R=0 e dunque per il teorema del resto, P (-a)=0.
Date queste condizioni, possiamo anche questa volta affermare che la validità relativa al teorema di Ruffini sia stata dimostrata.
Inoltre, possiamo fare anche un'osservazione molto interessante: il "teorema di Ruffini" ci fornisce due differenti condizioni: una condizione è detta necessaria, e l'altra condizione è detta sufficiente, affinché un polinomio P (x) sia multiplo di un binomio A (x) = x+a: il numero x = -a deve essere una radice di P (x).

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Approfondimenti

Con questo metodo di calcolo ci ha semplificato di molto i calcoli che se no dovremmo fare ogni volta. Infatti Ruffini ha visto che molti calcoli erano superflui e quindi elaborò una divisione molto più semplice da utilizzare. Questa regola però si può fare solo in alcuni casi come ad esempio quelli citati in alto durante la dimostrazione nella guida.
Con la regola di Ruffini, ci permette di fare dei calcoli molto velocemente. Infatti si usa per risolvere le divisioni dei polinomi e dei binomi di primo grado. La spiegazione di questo teorema l'ha fatto nel 1809.
Eccovi un link molto interessante su questa tematica: http://www.ripmat.it/mate/a/ad/ad5b.html.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Leggere con attenzione la guida.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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