Teorema di Ruffini: dimostrazione

Tramite: O2O 19/09/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

All'interno della guida che andremo a sviluppare ci occuperemo di matematica, in quanto, come indicato nel titolo, l'argomento che affronteremo riguarda un teorema specifico, ossia il teorema di Ruffini. Il "Teorema di Ruffini" è un teorema di fondamentale importanza nella scomposizione di un polinomio di grado n. Quando esso non può essere apparentemente scomposto in polinomi di grado minore tramite regole note. Esso perciò è l'ultima tecnica da adoperare, quasi un'ancora di salvezza, nella scomposizione dei polinomi di grado qualsiasi.
Questo metodo di scomposizione è stato introdotto nel XVIII secolo dal matematico Paolo Ruffini, il quale ha permesso di scomporre dei polinomi anche quando le altre tecniche derivanti dai prodotti notevoli fallivano.
In questa guida verranno esposti gli strumenti necessari alla comprensione di questo teorema e della sua dimostrazione.

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Occorrente

  • Teorema di Ruffini
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applicazione del teorema

Il metodo di Ruffini è uno dei sistemi più sicuri per la scomposizione dei polinomi. Solitamente il sistema si applica ogniqualvolta si deve scomporre un polinomio di grado abbastanza alto e non sia possibile ricorrere alle tecniche relative ai prodotti notevoli. Non conviene utilizzarlo per i polinomi scomponibili di secondo grado, poiché le altre tecniche sono sicuramente più rapide. Se individuate un'alternativa a Ruffini applicatela sempre, il teorema, infatti, se pur molto efficace richiede un procedimento solitamente più lungo e dispendioso anche in termini di tempo.

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Scomposizione dei polinomi

Molto spesso capita di dover scomporre un polinomio di grado n, non sempre però abbiamo un polinomio scomponibile in base ai prodotti notevoli, come succede, per esempio se ci troviamo di fronte ad una differenza o ad una somma di cubi. In questo caso ricorriamo alla regola di Ruffini che ci permette di scomporre un polinomio di grado n nel prodotto di un polinomio di grado n-1 e un polinomio di 1° grado. Bisogna sottolineare, tuttavia, che la regola non funziona con tutti i polinomi.Si fa, infatti, uso del teorema soltanto quando il resto è uguale a 0, cioè soltanto nel caso in cui la divisione è esatta. Per capire se il polinomio è divisibile per un binomio e quindi se è possibile applicare il teorema è necessario sostituire il valore opposto di a (cioè il numero del binomio cambiato di segno) all'interno del polinomio al posto della x.Ad esempio: (3x2+5x-4):(x-2)Poiché a=-2, sostituisco il suo opposto, ossia +2 nel polinomio e quindi:3(2)2+5(2)-4=12+10-4= 18Poiché il risultato ottenuto è diverso da zero allora la divisione non è esatta, il numero individuato infatti corrisponde al resto.

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Applicazione pratica del teorema

La regola di Ruffini è una versione semplificata dell'algoritmo di divisione dei polinomi che può essere utilizzata soltanto se il divisore è del tipo x+b, cioè soltanto se abbiamo x+ un certo numero reale che può anche avere valore negativo. Per capire concretamente come utilizzare la regola negli esercizi immaginiamo che ci venga richiesto di svolgere la divisione tra due polinomi:A(x)=x3-4x-2 e B(x)=x+1Notiamo immediatamente che il divisore (x+1) si presenta come x a cui è sommato il numero reale 1. Per applicare Ruffini è necessario costruire una specie di tabella. In alto, nella prima riga, vanno riportati i coefficienti del dividendo, cioè i numeri che compaiono dinanzi alle potenze di x del polinomio A. Nell'esempio che abbiamo fatto poco fa manca il coefficiente della x di secondo grado, in questo caso nella prima riga dovremo riportare il numero 0. Il meno due, invece, è un termine noto del dividendo e quindi lo metteremo sempre nella prima riga della nostra tabella ma diviso rispetto ai coefficienti di x. Tracciate dunque una riga verticale dopo il -4 e prima del -2. Ricordate che prima di trascrivere i coefficienti dovrete riordinarli in ordine di grado.
In basso a sinistra bisogna inserire l'opposto del termine noto del divisore (X+1). Quindi in basso a sinistra dovremmo scrivere -1 (l'opposto del divisore!!!). A questo punto, una volta fissata la tabella, avremmo questa situazione: |1 0 -4 | -2-1|_Il primo numero, ossia l'1 si porta giù normalmente. L'uno poi deve essere moltiplicato per il meno uno e il risultato deve essere posizionato sotto lo zero. Ora lo zero deve essere sommato al risultato di 1 per -1 ossia -1, il risultato sarà -1. Nuovamente dovremo moltiplicare per -1 e sommare per -4 e così via. Ricordate che si moltiplica in diagonale e si somma in verticale.
Il numero che ci compare sotto il -2 finale sarà il resto dell'algoritmo, mentre ciò che avrete ottenuto prima sono i coefficienti del quoziente. A questo punto potrete riscrivere il polinomio ricordandovi che il grado sarà più piccolo di uno rispetto a quello iniziale. Ritornando all'esempio avremmo: 1x2-1x-3=x2-x-3 resto=1



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Dimostrazione del teorema

Il teorema di Ruffini è condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P(x) sia divisibile per un binomio del tipo (x-a) è che P(a) sia uguale a zero. Allora un polinomio P (X) e un binomio (x-a), vale la relazione P(x)= Q(x)*(x-a)+ R, dove R è una costante perché il divisore è di primo grado. Ora P(x) assume dei valori in funzione di x; se x=a allora la precedente relazione diventerà: P(a)=Q(a)*(0)+R---> R=P (a).Abbiamo quindi dato una definizione del teorema del resto: Dato un polinomio P(x) e un binomio (x-a) il resto della divisione di P(x) per (x-a) è uguale a P(a). Dal teorema del resto segue il teorema di Ruffini. Si considerino un polinomio N( x) e un binomio D(x)=x+a.Valgono le seguenti proprietà:Se N(-a)=0 allora N(x) è multiplo di D(x)Se N(x) è multiplo di D(X) allora N(-a)=0. Il teorema di Ruffini fornisce una condizione necessaria e sufficiente per affermare che un polinomio N(x) sia multiplo di un binomio D(x), dunque R=0, pertanto per il teorema del resto, N(-a)=0. Ad esempio: N(X) = X3-3X2+4 Si verifica facilmente che il numero -1 è una radice del polinomio N(x), infatti: N(-1)=-1-3+4= 0 Dunque per il teorema di Ruffini, il polinomio N(x) è multiplo del binomio D(x)=x+1. Svolgendo la divisione in colonna si trova Q(x)= x2-4x+4 e ovviamente R=0.Pertanto: N(x)= x3- 3x2+4=D(x)*Q(X)= (X+1) (X2-4X+4).In questo esempio abbiamo ottenuto una scomposizione in fattori di N(x). Tuttavia, il metodo proposto non suggerisce come determinare una radice di N(x). Al fine di utilizzare il teorema di Ruffini per fattorizzare i polinomi, è bene tenere presente il seguente criterio per cercare radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Le eventuali radici di un polinomio N(x) di grado n a coefficienti interi vanno cercate tra le frazioni del tipo +/- m/n, dove m ed n sono sottomultipli rispettivamente del termine noto e del coefficiente del termine di primo grado m di N(x).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fate attenzione ai calcoli mentre stilate la tabella
  • State attenti al segno dei numeri e ricordatevi il numero opposto
  • Eseguita la tabella ricordate di ridurre l'espressione di un grado
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