Teorema di Rolle: dimostrazione

Tramite: O2O 12/10/2018
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il matematico francese Michel Rolle formulò uno dei più rilevanti teoremi della matematica e, per riuscirlo a comprendere bene, sarà necessario supporre anche la conoscenza del Teorema di Weierstrass e del Teorema di Fermat. Il teorema di solito di associa a quelli di Cauchy e Lagrange, e fa parte del corpus relativo all'analisi. La seguente guida si occupa di fornire una dimostrazione del Teorema di Rolle ed una semplice enunciazione dei teoremi sui quali esso è fondato.

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Occorrente

  • Carta
  • Penna
  • Matita
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Ipotesi del teorema

Il Teorema di Rolle si basa su due ipotesi essenziali che devono essere verificate prima di poterlo applicare. Innanzitutto, bisogna procedere con la definizione del teorema di Rolle: supponendo che venga data una funzione "f" definita in un intervallo chiuso "[a; b]" che è a sua volta definito su un insieme di numeri reali "R", se "f" risulta essere continua nell'intervallo chiuso e derivabile nell'intervallo aperto "(a; b)", ed "f (a)" è pari ad "f (b)", ciò assicura l'esistenza di un punto "c" appartenente ad "(a; b)" tale che la derivata prima in esso sia nulla.

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Ipotesi di Weierstrass

Se la funzione è fluttuante, interviene il teorema di Weierstrass, secondo cui la "f" presenterebbe almeno un punto di minimo (indicato con la "c") ed un punto di massimo nell'intervallo chiuso "[a; b]". Procedendo con la dimostrazione di questa teoria e indicando con "h" l'incremento, si avrà che: "f (c+h)" è maggiore o pari ad "f (c)". Portando quest'ultima funzione al primo membro e dividendo tutto per "h", si ottiene il così detto rapporto incrementale che sta alla base della teora delle derivate, e che a sua volta richiede la conoscienza del concetto di limite. Considerate a questo punto il numero "h". Si inizia prendendolo maggiore di zero (segno positivo) e poi inferiore a zero (segno negativo). A questo punto determinate il limite del primo rapporto incrementale (+) e quello del secondo rapporto incrementale (-). Siccome la derivata destra dev'essere uguale a quella sinistra, l'unico valore per cui ciò avviene è proprio lo zero: pertanto, "f'(c) = 0", la funzione è costante ed il teorema è provato.

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Verifica della condizione di Rolle

Successivamente, occorre dimostrare che le ipotesi del teorema di Rolle siano verificate. La continuità di una funzione viene dimostrata determinandone innanzitutto il limite sia destro che sinistro in un dato punto generico e, qualora dovessero coincidere, la "f" stessa sarà una funzione continua. La derivabilità si verifica provando che esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale. In pratica trattandosi di un rapporto, bisogna che ci sia la possibilità di avere infinitesimi di ordini paragonabili al numeratore e al denominatore, in modo tale da poter procedere nei calcoli, ossia che quando h tende a zero, il numeratore abbia un comportamento analogo, consentendo di approssimare i due termini con dei segmenti di retta. L'ultima tesi viene calcolata sostituendo alternativamente "a" e "b" alla funzione e, se i valori corrispondono, allora "f (a) = f (b)".

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Condizioni di fluttuazione

Dopo aver dimostrato che le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate, si potrebbero presentare due situazioni diverse: la funzione è fluttuante oppure costante. Nel caso di funzione costante, la teoria del matematico francese viene automaticamente provata, poiché la derivata di una "f" non variabile è uguale a zero, qualunque sia il punto "c". Nel caso di funzione fluttuante invece si deve procedere alla verifica delle condizioni del teorema come visto sopra. Per funzione fluttuante si intende il caso in cui ci siano cambiamenti di segno al variare dei valori assunti dall'incognita.

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