Teorema di Rolle: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il matematico francese href="https://it. Wikiped">Michel Rolle formulò uno dei più rilevanti teoremi della matematica e, per riuscirlo a comprendere bene, sarà necessario supporre anche la conoscenza del Teorema di Weierstrass e del Teorema di Fermat.<> La seguente pratica guida si occupa di fornire dettagliatamente una dimostrazione del Teorema di Rolle ed una semplice enunciazione dei teoremi sui quali esso è fondato!!!

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La definizione del teorema

Precisamente, il Teorema di Rolle si basa su due ipotesi essenziali che devono essere provate scrupolosamente: infatti, se entrambe non si dovessero verificare, questa teoria non potrebbe essere applicata. Innanzitutto, bisogna procedere con la definizione del teorema di Rolle supponendo che venga data una funzione "f" definita in un intervallo chiuso "[a; b]" che è, a sua volta, definito in un insieme di numeri reali "R": se "f" risulta essere continua nell'intervallo chiuso e derivabile nell'intervallo aperto "(a; b)", ed "f (a)" è pari ad "f (b)", ciò assicura l'esistenza di un punto "c" appartenente ad "(a; b)" tale che la derivata prima in esso sia nulla.

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Il teorema di Weierstrass

Se la funzione è fluttuante, interviene il teorema di Weierstrass, secondo cui la "f" presenterebbe almeno un punto di minimo (indicato con la "c") ed un punto di massimo nell'intervallo chiuso "[a; b]". Procedendo con la dimostrazione di questa teoria e indicando con "h" l'incremento, si avrà che: "f (c+h)" è maggiore o pari ad "f (c)"; portando quest'ultima funzione al primo membro e dividendo tutto per "h", si ottiene il rapporto incrementale. Dopodichè, considerate "h" prima maggiore di zero (segno positivo) e poi inferiore a zero (segno negativo: infine, determinate il limite del primo rapporto incrementale (+) e quello del secondo rapporto incrementale (-). Siccome la derivata destra dev'essere uguale a quella sinistra, l'unico valore per cui ciò avviene è proprio lo zero: pertanto, "f'(c) = 0", la funzione è costante ed il teorema è provato.

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Le ipotesi del teorema

Successivamente, occorre dimostrare che le ipotesi del teorema di Rolle siano verificate: la continuità di una funzione viene dimostrata determinandone il limite sia destro che sinistro e, qualora dovessero coincidere, la "f" stessa sarà continua; la derivabilità si verifica provando che esiste il limite del rapporto incrementale; l'ultima tesi viene calcolata sostituendo alternativamente "a" e "b" alla funzione e, se i valori corrispondono, allora "f (a) = f (b)".

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In conclusione

Dopo aver dimostrato che le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate, si potrebbero presentare due situazioni diverse, ovvero che la funzione sia fluttuante oppure costante: in quest'ultimo caso, la teoria del matematico francese viene automaticamente provata, poiché la derivata di una "f" non variabile è uguale a zero (qualunque sia il punto "c").

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