Teorema di Pitagora: dimostrazione e funzioni

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Fin dalle elementare, con il primo approccio alla geometria, ci viene illustrato il Teorema di Pitagora, uno dei più antichi teoremi che tutt'oggi conosciamo. Riproposto in ogni scuola dopo le primarie, sia alle medie che alle superiori, rappresenta un importante strumento per ogni studente di geometria. In questa guida ci occuperemo di illustrare tale teorema, della sua dimostrazione e delle sue funzioni nel mondo della matematica.

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Definizione del teorema

Il teorema di Pitagora afferma che: ogni quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei due quadrati costruiti sui cateti di esso. Per quanto riguarda la dimostrazione di questo teorema essa viene messa in pratica sempre scomponendo i quadrati costruiti sui cateti e ricomponendoli in maniera equivalente a quello costruito sull'ipotenusa. Per semplicità nomineremo ogni lato del triangolo rettangolo con una lettera: se chiamiamo a e b i cateti e c l'ipotenusa la formula base sarà: c²=a²+b².

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Applicazione in un triangolo rettangolo

Il teorema di Pitagora ci permette di conoscere la lunghezza di un qualunque lato di un triangolo rettangolo, se si conosce quella degli altri due lati. Se ad esempio conoscessimo soltanto un cateto a e un cateto b, dovendo ricercare l'ipotenusa, si dovrà trovare la radice quadrata di (a² + b²). Se volessimo trovare un cateto b, conoscendo sono l'altro cateto a e l'ipotenusa c, dovremo trovare la radice quadrata di (c² - a²). Nel caso in cui i due cateti misurino la stessa lunghezza, la formula si semplifica ulteriormente, poiché a = b.

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Applicazione in altre figure geometriche

Il teorema di Pitagora ad ogni modo esso potrà essere utilizzato anche per altre figure geometriche purché andremo a scomporle in triangoli rettangolo: sono ottimi esempi i quadrati, i rettangoli, i rombi, i parallelogrammi: ragionandoci un po' su essi potranno essere scomposti in vari triangoli che potremmo utilizzare per trovare particolari incognite richieste dal problema. Prendiamo in esame le singole figure geometriche; molte di esse possono essere scomposte in triangoli rettangoli, anche i triangoli stessi. Facciamo l'esempio di un qualsiasi triangolo: se consideriamo la perpendicolare di un lato, passante per l'angolo opposto (l'altezza), divideremo il triangolo in due triangoli rettangoli, dove potremo applicare il teorema. Altro esempio può essere un rombo, in cui se tracciamo le due altezze, divideremo il rombo in quattro triangoli rettangoli, i quali avranno ognuno per ipotenusa il lato del rombo, e per cateti la metà delle due altezze.

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