Teorema di Modigliani-Miller: dimostrazione
Introduzione
Il Teorema di Modigliani-Miller è ormai considerato, nell'ambito della finanza aziendale, uno dei cardini fondamentali, non tanto per la sua applicabilità al mondo reale (vi sono infatti forti vincoli imposti dalle ipotesi di base che vedremo successivamente) ma piuttosto per il fatto che da esso è nata una fiorente letteratura economica. A riguardo sono, infatti, stati sviluppati modelli alternativi al Modigliani-Miller (che a sua volta ha ripreso l'idea già espressa da L. B. William nel 1938 nel suo libro "The Theory of Investiment") che cercano di superare i vincoli delle sue ipotesi iniziali rendendolo così più aderente alla realtà. Il teorema si articola in due proposizioni delle quali sarà ora proposta una dimostrazione.
Il teorema di Modigliani-Miller (1958) è un grande aiuto al mondo della finanza aziendale, sotto l'aspetto della metodologia di analisi del capitale e del flusso introdotta e utilizzata.
il teorema rappresenta le fondamenta della teoria capitale. In un'elaborazione meno complicata, si attesta che, senza la presenza frizioni nel mercato, dove per frizioni si intendono tasse, pagamenti di fatture per fallimenti o costi di agenzia) il valore di un'impresa non dipende dalla struttura del suo capitale, bensì è legato unicamente alla sua profittabilità e ai rischi che si assume nelle attività reali. Se, quindi, una società cambia la sua struttura finanziaria (aumentando o diminuendo il suo capitale di debito e di rischio) non aumenta ne diminuisce il suo valore.
Come viene dimostrata la prima proporzione
Dimostrazione della Proposizione numero uno. Nel caso in cui supponessimo di essere un investitore avremmo due possibilità di investimento:
1) Investimento in una impresa non indebitata, dove per indebitata si intende una società che ha sottoscritto obbligazioni con terzi (detta Unlevered) U: Investimento 1= 5% Eu (ovvero investiremo nel 5% del capitale netto di U) Payoff=5% MO (con MO= Margine operativo)
2) Investimento in un' impresa indebitata L (levered), investiremo sia nel suo Capitale netto (Equity) che nel suo Debito (Debit). Investimento 2= 5%Ed + 5%D Payoff= 5%(MO - rD) + 5%rD= 5%MO (con rD=oneri finanziari attivi e passivi sul debito). Come vediamo i due investimenti hanno lo stesso payoff. Affinché il mercato del capitale sia in equilibrio, strategie che generano lo stesso payoff devono implicare uno stesso investimento iniziale. Perciò è possibile eguagliare i due investimenti in questo modo:
5%Eu=5%Ed + 5%D avremo quindi: Eu=Ed + D
Ma Eu è una impresa non indebitata, quindi ne consegue che Eu=Vu e analogamente per l'impresa levered Ed+D=VL. Dimostriamo così che Vu=VL, ovvero qualunque sia il rapporto D/E in una azienda (abbiamo qui messo a confronto una impresa con D/E=0 ed una con D/E diverso da 0) il suo valore V sarà sempre uguale.
Come viene dimostrata la seconda proporzione
Dimostrazione della Proposizione II che stabilisce che il costo del capotale è direttamente proporzionale alla leva finanziaria (ossia più debito rispetto al capitale iniziale): in altre parole maggiore sarà il valore della leva finanziaria, maggiore sarà il costo del capitale stesso, perché maggiore sarà il rischio a carico degli azionisti e quindi anche maggiore il rendimento finale. Nota. Al fine di rendere più scorrevole la trattazione illustriamo i seguenti indici prima della dimostrazione
ROI=Ra= MO/V
ROE=UN/E
Dove: UN=MO - rD e V=D+E.
Quindi ROE= UN/E= (MO-rD)/E=[(MO-rD)(D+E)]/[(D+E)(E)]=ROI[(D+E)/E)] - r (D/E) Allora ROE= ROI + (D/E)(ROI - r).
Ciò vuol dire che il costo del capitale proprio levered è uguale al costo del capitale proprio unlvered più un premio proporzionale al rapporto di indebitamento dell'impresa pari a D/E. Questa equazione implica che un'azionista che investe in una impresa levered richiederà un rendimento maggiore rispetto ad un azionista che ha investito in una impresa unlevered.
Come può essere sintetizzato il teorema
Il teorema rappresenta: Ipotesi. Assenza di imposte di reddito delle società - Unico tasso attivo/passivo di mercato, quindi i mercati sono perfetti - Assenza di asimmetrie informative e costi transazionali (dunque acquisti e vendite senza alcun costo aggiuntivo) - Assenza di costi di fallimento diretti o indiretti - Gli utili operativi attesi sono costanti e di importo uguale agli utili operativi correnti.
Tesi. La struttura finanziaria dell'impresa è irrilevante rispetto alla massimizzazione del valore delle attività. Ciò vuol dire che qualunque sia il rapporto Debit/Equity in una impresa il suo valore sarà indipendente da esso.
Notazione. Durante la dimostrazione "D" (Debit) sarà la componente relativa al capitale di debito,"E" (Equity) la componente relativa al capitale proprio; VU identificherà il valore di una impresa non indebitata (e dunque del suo ammontare di attività) e VL il valore delle attività di una impresa indebitata (dunque D+E delle passività).Limiti. Secondo il teorema di Modigliani-Miller, quindi, le scelte relative alla composizione delle fonti societarie sarebbero irrilevanti in quanto il suo valore non sarebbe dipendente dalla struttura del suo capitale. Analizzando la realtà e il mercato, invece, si è visto come le politiche aziendali e finanziarie, in particolare le imposte finanziarie e il valore del dissenso, hanno un ruolo importante e fondamentale nella creazione del valore della società. In particolare le imposte accrescono il flusso dell'impresa e la volontà di investire con debiti in modo direttamente proporzionale allo scudo fiscale (ossia una regolazione in ambito tributario in cui vengono risanati o condonati alcuni illecite irregolarità sui capitali), quindi si preferiscono aziende altamente indebitate rispetto a quelle senza debiti. È altrettanto vero, però, che se lo scudo fiscale rappresenta un incentivo all'indebitamento, questo accresce il rischio di dissenso all'interno di una società, quindi sul lungo periodo le due variabili potrebbero essere inversamente proporzionali.