Teorema di Modigliani-Miller: dimostrazione

Il Teorema di Modigliani-Miller è ormai considerato, nell'ambito della finanza aziendale, uno dei cardini fondamentali. Non tanto per la sua applicabilità al mondo reale (vi sono infatti forti vincoli imposti dalle ipotesi di base che vedremo successivamente) ma piuttosto per il fatto che da esso è nata una fiorente letteratura economica. A riguardo sono, infatti, stati sviluppati modelli alternativi al Modigliani-Miller che cercano di superare i vincoli delle sue ipotesi iniziali rendendolo così più aderente alla realtà. Il teorema si articola in due proposizioni delle quali sarà ora proposta una dimostrazione.
Il teorema di Modigliani-Miller è un grande aiuto al mondo della finanza aziendale, sotto l'aspetto di metodologia; grazie al progetto di Miller e Modigliani del 1958 si presentano come novità assolute, strumenti analitici dell'economia politica nell'analizzazione di un disturbo di finanza da parte dell'azienda .
il teorema rappresenta le fondamenta della teoria capitale. In un'elaborazione meno complicata, si attesta che, senza la presenza di tasse, pagamenti di fatture per fallimenti, in un compravedita che funziona il prezzo di un'impresa non è condizionato dal metodo di finanziamento della società.

Dimostrazione della Proposizione numero uno: in caso supponessimo di essere un investitore il quale ha due possibilità di investimento:
1) Investimento in una impresa non indebitata (detta Unlevered) U: Investimento 1= 5% Eu (ovvero investiremo nel 5% del capitale netto di U) Payoff=5% MO (con MO= Margine operativo)
2) Investimento in un' impresa indebitata L (levered), investiremo sia nel suo Capitale netto (Equity) che nel suo Debito (Debit). Investimento 2= 5%Ed + 5%D Payoff= 5%(MO - rD) + 5%rD= 5%MO (con rD=oneri finanziari attivi e passivi sul debito). Come vediamo i due investimenti hanno lo stesso payoff. Affinché il mercato del capitale sia in equilibrio, strategie che generano lo stesso payoff devono implicare uno stesso investimento iniziale. Perciò è possibile eguagliare i due investimenti :
5%Eu=5%Ed + 5%D avremo dunque: Eu=Ed + D
Ma Eu è una impresa non indebitata, dunque Eu=Vu e analogamente per l'impresa levered Ed+D=VL. Dimostriamo così che Vu=VL, ovvero qualunque sia il rapporto D/E in una azienda (abbiamo qui messo a confronto una impresa con D/E=0 ed una con D/E diverso da 0) il suo valore V sarà sempre uguale.

Dimostrazione Proposizione II: Nota: Al fine di rendere più scorrevole la trattazione illustriamo i seguenti indici prima della dimostrazione
ROI=Ra= MO/V
ROE=UN/E
Dove: UN=MO - rD e V=D+E.
Quindi ROE= UN/E= (MO-rD)/E=[(MO-rD)(D+E)]/[(D+E)(E)]=ROI[(D+E)/E)] - r (D/E) Allora ROE= ROI + (D/E)(ROI - r).
Ciò vuol dire che il costo del capitale proprio levered è uguale al costo del capitale proprio unlvered più un premio proporzionale al rapporto di indebitamento dell'impresa pari a D/E. Questa equazione implica che un'azionista che investe in una impresa levered richiederà un rendimento maggiore rispetto ad un azionista che ha investito in una impresa unlevered.
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Il teorema rappresenta: Ipotesi - Assenza di imposte - Unico tasso attivo/passivo di mercato - Assenza di asimmetrie informative e costi transazionali (dunque acquisti e vendite senza alcun costo aggiuntivo)
Tesi: La struttura finanziaria dell'impresa è irrilevante rispetto alla massimizzazione del valore delle attività. Ciò vuol dire che qualunque sia il rapporto Debit/Equity in una impresa il suo valore sarà indipendente da esso.
Notazione: Durante la dimostrazione "D" (Debit) sarà la componente relativa al capitale di debito; "E" (Equity) la componente relativa al capitale proprio. VU il valore di una impresa non indebitata (e dunque del suo ammontare di attività) e VL il valore delle attività di una impresa indebitata (dunque D+E delle passività).

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