Teorema di Liouville: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Spesso chi studia allo scientifico o in facoltà tecnico scientifiche come ingegneria sa bene che imparare e comprendere i teoremi non è cosa da poco specie se questi introducono vari concetti. Questi teoremi sono molte volte utili per la risoluzione dei problemi che lo studente affronta più e più volte. Fra i tanti quello meno conosciuto ma non meno importante è il Teorema di Liouville che, grazie ai numerosi campi e al matematico francese, ha spiegato e reso più semplici determinate dinamiche. In riferimento a ciò ecco una dimostrazione dell teorema di Liouville.

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Stabilire un sistema meccanico

Dal punto di vista teorico si procede in questo modo: viene stabilito un sistema meccanico con N gradi di libertà, in questo sistema lo spazio delle fasi risulta essere uno spazio a 2N dimensioni sui cui assi coordinati vengono riportati le N coordinate generalizzate e anche gli N impulsi, sempre generalizzati, dello schema iniziale. Procedendo in questa direzione, ogni punto dello spazio preso in considerazione diventa parte dello stato meccanico del sistema stesso. Durante l'evoluzione del sistema di riferimento, il punto fase, che rappresenta il suo stato, crea nello spazio delle fasi una curva chiamata "traiettoria di fase".

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Determinare il processo di evoluzione dinamica

Il processo di evoluzione dinamica di un sistema meccanico, sempre con N gradi di libertà, risulta determinato dalle equazioni di Hamilton e, all'interno di queste, H non è altro che l'hamiltoniana dell'intero sistema. Quando i punti dello spazio delle fasi rappresentano configurazioni diverse ma hanno lo stesso stato macroscopico, si può parlare di densità di configurazioni P nell'intorno del punto e ciò definisce la nullità della densità presa in considerazione. Diventa quindi possibile immaginare tali punti come parti costituenti di un fluido, naturalmente dentro lo spazio delle fasi, che risulta essere incomprimibile.

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Considerare l'equazione di continuità

Prendendo in considerazione che nello spazio delle fasi le traiettorie vengono percorse con velocità, bisogna considerare l'equazione di continuità. Si può, in alternativa, prendere in esame il teorema di Liouville considerando un volume elementare nello spazio delle fasi e ciò comporta che gli stati di un sistema occupano, nello spazio delle fasi, volumi sempre uguali, al massimo distorti dalle curve che passano dai singoli punti. Con queste ultime definizioni la guida dimostrativa sul teorema di Liouville è terminata e quindi non vi resta che approfondire queste nozioni con dei libri di testo appropriati.

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