Teorema di Lebesgue: dimostrazione

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Introduzione

Il Teorema di Lebesgue, conosciuto anche come teorema di Vitali-Lebesgue, nel campo dell'analisi matematica è una proposizione che determina l'equivalenza tra una funzione e la derivata del suo integrale, ovvero un operatore che associa alla funzione l'area sottintesa dal grafico all'interno di un preciso intervallo nel dominio. Nella seguente guida, passo dopo passo, vi illustreremo la dimostrazione del suddetto teorema.

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Dimostrazione pratica

Dimostrazione pratica: data una funzione F che secondo Lebesgue e Vitali è possibile integrare, l'integrale indefinito di F su un insieme misurabile A viene indicato con la seguente formula:
S (a) xFxd (lambda greco) ed è definito con la funzione che associa all'insieme A della funzione FxX (A), dove X (A) è la funzione caratteristica di A.

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Enunciato

Enunciato: il teorema di Lebesgue-Vitali dice (in linguaggio matematico enuncia) che la derivata integrale di F equivale ad F quasi ovunque, ovvero in tutti i casi in cui esiste un insieme di X di misura equivalente a quella di A. Esiste inoltre un'altra variante del teorema, che stabilisce invece l'uguaglianza tra una funzione differenziabile e l'integrale della sua derivata.

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Caso particolare

C'è inoltre un caso in cui, se applichiamo il teorema di Lebesgue, esso arriva ad enunciare il teorema della densità di Lebesgue, ovvero nel caso in cui venga applicato alla funzione caratteristica di un insieme misurabile. Il teorema della densità riferisce che la frontiera di un insieme misurabile ha una misura trascurabile.

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Inventori del teorema

Infine, per concludere discretamente questa breve guida, mi sembra doveroso scrivere due parole sui suoi inventori: Henri L. Lebesgue fu uno scrittore e un matematico francese, vissuto a cavallo tra il Novecento e il ventesimo secolo. È conosciuto soprattutto per il suo contributo dato all'attuale teoria dell'integrazione, un'operazione matematica inversa alla derivazione e che corrisponde invece all'idea di trovare l'area delimitata dall'asse delle ascisse (indicate con la lettera x) e dal grafico di una funzione. Presentò per la prima volta la sua teoria nel 1902, all'interno di una tesi dal titolo "intégrale, longueur, aire" presso l'università di Nancy. Nello stesso periodo in cui Lebesgue scoprì il suo teorema, un altro matematico, l'italiano Giuseppe Vitali, lavorò sulla stessa teoria e sullo stesso teorema, anche se non entrò mai in contatto con il matematico francese, ed è per questo motivo che ancora tutt'oggi viene indicato con entrambi i nomi dei due matematici che lo scoprirono.

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