Teorema di Laplace: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Lo studio è stato parte integrante durante la nostra adolescenza, materie che si intrecciavano tra loro facendoci a volte palpitare, ma nello stesso tempo incuriosire e affascinare, in questa guida cerchiamo di capire Teorema di Laplace: dimostrazione, non spaventiamoci parleremo di algebra, termine che fa parte della branca della matematica, quest'ultima è stata una delle materie che ci ha messo alla prova con numeri e calcoli. Vediamo l' importante funzione dell'algebra lineare determinante di una matrice, utile per il calcolo di altre applicazioni, come l'inversa di una matrice o per riconoscere l'indipendenza lineare dei vettori riga o colonna di una stessa matrice, esponiamo una importante teoria con dimostrazione, riguardo queste operazioni.

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Occorrente

  • Allenarsi
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Capire il teorema

Stiamo parlando di teorema, termine già sentito e rivisto in tante soluzioni matematiche, questo di Laplace afferma che: il determinante di una qualsiasi matrice quadrata M è uguale alla somma degli elementi di ciascuna riga moltiplicati per i rispettivi complementi algebrici, prendiamo in evidenza tali formule ossia: M= (j=1... N) E (-1)^(i+j) mij*detMij (per una riga o anche per una colonna qualsiasi), dove E= sommatoria che va da 1 ad n, M= complemento algebrico, questa che abbiamo evidenziato come dicevo è il processo da effettuare per calcolare il teorema, capiamo cos'è un minore, e un determinante, una matrice M si dice minore di M, quando una di esse ottiene A eliminando alcune sue righe e colonne. Il determinante invece è una funzione avente come dominio le matrici quadrate.

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Procedura da adottare

Abbiamo accennato che lo studio è fondamentale per entrare con più ordine nel sitema, ma proseguiamo con semplicità ma soprattutto credibilità, abbiamo detto che tale teorema, serve per calcolare determinanti di matrici di ordine superiore al terzo, ma lo si può applicare anche a quelle di ordine inferiore, viene infatti applicato per vari calcoli come il determinante di una matrice diagonale, triangolare, e per trovare gli autovalori di elementi posti sulla diagonale, oltre che per calcolare il determinante di una quadrata, per calcolare il determinante si puo' intervenire sia con le righe che con le colonne.

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L'importanza dello studio

La dimostrazione ci orienta in questo modo: data la matrice M, consideriamo la somma S degli elementi della riga j con quelli della riga k con j diverso da k, sostituiamo la riga k con la riga j e otteniamo la matrice B, con due righe uguali, si riconosce che la somma S è lo sviluppo di Laplace della matrice B, inoltre un secondo teorema riguardo il determinante di una matrice, afferma che la somma dei prodotti degli elementi di una colonna o di una riga, per i complementi algebrici di un'altra riga o colonna della medesima matrice, è sempre uguale a zero. Possiamo continuare ma l'allenamento e lo studio faranno sempre da supporto per approfondire ancora meglio tali "TEOREMI".

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