Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

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Difficoltà: media
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Introduzione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem afferma che se una teoria del primo ordine numerabile ha un modello infinito, allora per ogni numero cardinale infinito κ, si ha un modello di dimensioni κ.
Da qui si può capire che le teorie del primo ordine non sono in grado di controllare la cardinalità dei modelli infiniti, e nessuna teoria del primo ordine con un modello infinito può avere un modello unico a meno di isomorfismo. Successivamente vi illustrerò i vari passaggi della dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem.

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Dimostrazione del teorema

Il primo passaggio da seguire della dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem è che bisogna sapere e conoscere che la versione moderna del teorema è più generale e più forte. Il Teorema di Löwenheim-Skolem afferma che per ogni firma σ, per ogni struttura M e per ogni numero cardinale infinito κ ≥ | σ |, esiste una struttura di σ N tale che | N | = κ e
se κ <| M | N allora è una sottostruttura elementare di M;
se κ> | M | N allora è una estensione elementare di M.
Il Teorema di Löwenheim-Skolem è molto spesso suddiviso in due parti.
Le due parti in sui è suddiviso il Teorema di Löwenheim-Skolem vengono definite Teorema di Löwenheim-Skolem all'ingiù e Teorema di Löwenheim-Skolem all'insù. Il Teorema di Löwenheim-Skolem all'ingiù afferma che una struttura ha sottostrutture elementari di tutte le infinite piccole cardinalità. Il Teorema di Löwenheim-Skolem all'insù afferma invece che una struttura ha estensioni elementari in tutte le cardinalità maggiori.

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Vari aspetti del teorema

Il secondo passaggio da seguire della dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem è che una prima cosa da ricordare molto bene è che N rappresenta l'insieme dei numeri naturali e R rappresenta quello dei numeri reali. Dal Teorema di Löwenheim-Skolem possiamo capire che la teoria della vera aritmetica del primo ordine presenta innumerevoli modelli, mentre la teoria dei campi reali chiusi presenta un modello numerabile. Il Teorema di Löwenheim-Skolem dimostra che questi non possono essere assiomatizzazioni di primo ordine.

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Utilizzo del teorema di compattezza

Il terzo e ultimo passaggio da seguire della dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem è che bisogna ricordarsi che la teoria completa M per la firma estesa σ' è chiamata schema elementare di M. Utilizzando il teorema di compattezza, la teoria risultante si verifica essere facilmente verificata.

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