Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione

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Introduzione

Il Teorema di Krasnoselskii è uno dei teoremi di punto fisso che sono uno dei principali strumenti dell'analisi matematica non lineare. Questi teoremi hanno una miriade di applicazioni pratiche. I suoi risultati riguardano un operatore singolo; ma le scienze applicate hanno creato però dei problemi che sono traducibili in equazioni nelle quali vi è la somma di due operatori (A e B), in modo naturale, con differenti proprietà tra di loro. Ecco una guida sul
Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione.

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Le origini del teorema

Per cui diventa impossibile applicare i risultati classici alla somma A + B. Perciò diventa importante avere a disposizione dei teoremi di punto fisso per le somme tra operatori, tra cui appunto il teorema di Krasnoselskii. Vediamo ora cosa afferma il teorema e qual è la sua dimostrazione. Il teorema di Krasnoselskii è un teorema di punto fisso chiamato così dal nome del matematico Mark Krasnoselskii che lo enunciò. Viene chiamato anche con il nome di teorema di Krasnoselskii-Reinermann dal nome dei matematici Krasnoselskiie Reinermann quando esiste una condizione alternativa. Il teorema di Krasnoselskii ha anche altre estensioni.

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La dimostrazione del teorema

Vediamo ora la dimostrazione del teorema di Krasnoselskii in alcune varianti. Se X è uno spazio normato e M è un suo sottoinsieme, allora B: M = X è una contrazione della costante L < 1. Quindi I - B è un omeomorfismo da X in (I- B) (X). Infine se (I - B)(X) è precompatto, allora lo è anche X. Ovviamente I- B è continua e surgettiva sulla sua immagine. Inoltre vale la disuguaglianza che fornisce l'iniettività di I - B. Quindi esiste la sua inversa che, a causa del primo lemma, è continua.

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Leggere attentamente la dimostrazione

Il teorema che è stato ora dimostrato presenta però alcuni inconvenienti nel caso in cui si prova ad usarlo in una applicazione. Difatti frequentemente non si può verificare la terza ipotesi del teorema. Ma una lettura molto attenta della dimostrazione del teorema, fa capire che risulta sufficiente verificare una condizione molto meno restrittiva.

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Il teorema di espansione del cono e del minorante monotono

Infatti occorre precisare che esistono altri teoremi di punto fisso diversi, sempre dovuti a Krasnoselskii, tra cui il teorema di espansione del cono del 1962 e il teorema del minorante monotono del 1956. L’enunciato del teorema di Krasnoselskii è il seguente: se X è uno spazio di Banach e M è un sottoinsieme chiuso non vuoto e convesso di X, allora si considerano le due funzioni A; B: M --> X tali che si verifica: 1) A è continua e A (M) è contenuto nell'insieme compatto 2) B è una contrazione della costante L < 1. 3) A (x) + B (y) appartengono a MQuindi esiste y che appartiene a M punto fisso perla somma A+B.

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