Teorema di König: dimostrazione

Tramite: O2O 27/01/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il teorema di Koning sono due teoremi utilizzati nella parte della fisica chiamata rotazione e nel moto del centro di massa. Questo perché si parte dal presupposto che un corpo non possa essere considerato come un punto materiale come accadeva nella fisica che considera i corpi nei moti bi-dimensionali come rigidi. Questo perché il corpo viene inizialmente definito come somma di infinite particelle (Nella realtà però parliamo di oggetti  come una sbarra o una sfera) e pertanto non è possibile definire in un tempo t la somma di tutti i moti.
Per parlare del teorema è necessario introdurre anche il momento angolare che fisicamente viene definito come il prodotto vettoriale tra il raggio di rotazione e la quantità di moto (Cioè velocità per massa).
Ecco quindi la dimostrazione del teorema di König.

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Spiegazione generale del teorema

Il teorema di König, che sia il lato del momento angolare che sia per l'energia cinetica, si sviluppa in maniera analoga in ambedue i casi. Si parte infatti dalla separazione iniziale di un prodotto vettoriale tra due elementi e applicando varie considerazioni che è possibile fare sui corpi che possiedono un centro di massa si arriva alla formulazione finale che lega il momento angolare/Energia cinetica in un punto qualsiasi del corpo ai rispettivi centri di massa.
Tutto il teorema di König è anche dimostrabile utilizzando le regole dei corpi rigidi.

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Primo Teorema di Konig

In questo caso si parte dal momento angolare. Questo viene definito come sommatoria del prodotto tra raggio e quantità di moto.
L=S[r x m*v] (Dove S è la sommatoria e x è il prodotto vettoriale)
Partendo da questa formula si consideri, preso un qualsiasi punto di riferimento, un Ri= Rcm + R e un Vi=Vcm + V.
Sciogliendo il prodotto vettoriale è possibile ottenere 4 membri, di cui due nulli per definizione del centro di massa, e riassemblando il tutto si ottiene la formulazione finale:
Lp = Lcm + Mt*v (Dove Mt è la massa totale).

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Secondo Teorema di Konig

In questo caso si parte dall'energia cinetica. Questa viene definita come sommatoria del prodotto tra la metà del prodotto vettoriale tra massa e velocità al quadrato.
E=S[1/2 m x v^2] (Dove S è la sommatoria e x è il prodotto vettoriale)
Partendo da questa formula si consideri, preso un qualsiasi punto di riferimento, un Vi=Vcm + V.
Sciogliendo il prodotto vettoriale è possibile ottenere 4 membri, di cui due nulli per definizione del centro di massa, e riassemblando il tutto si ottiene la seguente formulazione finale:
Ep = E cm + Mt*V^2 (Dove Mt è la massa totale).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • E' consigliato una preparazione basilare sul centro di massa
  • E' consigliato una preparazione basilare sul moto dei corpi del centro di massa
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