Teorema di inversione di Fourier: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema di inversione di Fourier è utilizzata continuamente in decine di campi a prima vista inconciliabili tra loro. Per determinare il valore di una trasformata di Fourier, infatti, sarà sufficiente ascoltare: l'orecchio compie infatti automaticamente un calcolo che l'intelletto può eseguire soltanto dopo anni di studio della matematica. La seguente coppia di formule merita d'essere compresa (almeno nelle proprie basi maggiormente semplici e pratiche) quando si utilizza il cellulare, si guarda la televisione e/o si ascolta la musica: le tipologie d'equazioni di cui sto parlando sono "X (f) = Z+∞−∞ x (t)" e "− i2πftdtx (t) = Z+∞−∞ X (f) ei2πftdf". Vediamo dunque, nella guida che segue, la dimostrazione del teorema di inversione di Fourier.

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La trasformata di Fourier permette la scomposizione di un'onda qualsiasi

La trasformata e anti-trasformata di Fourier sono degli integrali e dei numeri complessi scritti in forma contratta che potrebbero spaventare molte persone: in realtà esse sono abbastanza semplici. Sinteticamente, la trasformata di Fourier permette la scomposizione di un'onda qualsiasi, anche molto complessa e rumorosa (come un segnale telefonico o televisivo, la musica e la voce), in diverse sotto-componenti: questo avviene in maniera similare nella chimica, dove è possibile scomporre un alimento nei propri sotto-elementi per capirne la giusta composizione.

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L'equazione del Teorema di inversione è nata nell'anno 1822

La trasformata di Fourier permette di calcolare le varie componenti delle onde sinusoidali che, sommate tra loro, originano il segnale di partenza. Storicamente, le due equazioni del Teorema di inversione sono nate nell'anno 1822, dalla brillante idea del matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier, che è diventato famoso anche per la legge sulla conduzione termica. La cosa migliore da fare è quella di studiare bene il Teorema di inversione di Fourier e portarlo avanti, affinché non vada perduto con il trascorrere del tempo.

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Esiste una successione λntale

Con riferimento alla formula di inversione, se "f ∈ L1" e "F ∈ L1", si avrà "seg (x) = 1√2πZ∞−∞F (t) eixtdt (x ∈ R)", "lorag ∈ C0" e "df (x) = g (x) q". Relativamente alla dimostrazione, vale "(f∗hλ)(x) = 1√2πZ∞−∞H (λt) F (t) eixtdt: gli integrandi a secondo membro sono limitati da "|F (t)|" e, per il Teorema della convergenza dominata, poiché "H (λt) → 1" per "λ → 0", si ha che il secondo membro converge "ag (x)" per "∀x ∈ R". Per il Teorema di inversione di Fourier, esiste una successione λntale che "λn → 0" e "limn → ∞(f∗hλn)(x) = f (x) q": pertanto, si avrà che "f (x) = g (x) q" e dall'enunciato seguirà che "g ∈ C0". Non mi resta che augurarvi buono studio.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per il Teorema di inversione di Fourier, esiste una successione λntale che "λn → 0" e "limn → ∞(f∗hλn)(x) = f (x) q".
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