Teorema di indefinibilità di Tarski: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il teorema di Tarski sull'indefinibilità della verità dell'aritmetica è strettamente legato ai teoremi di Godel ed ai suoi studi: per questo partiremo dalla sua "matematica" per poi arrivare alle dimostrazioni di Tarski. La dimostrazione del teorema seguirà grazie ad un lemma degli studi di Godel ed è per questo che spiegheremo i concetti fondamentali delle sue ricerche.

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Le proprietà

Innanzitutto introduciamo ora alcune proprietà relative al concetto di Teoria (T). Nel dettaglio, una teoria è detta "non contraddittoria" se non esiste un teorema della teoria per cui possiamo formulare la sua negazione. Una conseguenza della scienza delle teorie, che useremo per la nostra dimostrazione, è che se le teorie T sono incluse in maniera non contraddittoria in Q, allora i numeri di Gödel dei teoremi di T, praticamente non sono definibili in T (Lemma 1).

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I concetti

Tenendo ben presente i concetti sopra esposti, riportiamo l'enunciato del teorema di Tarski sull'indefinibilità: le definizioni di verità dell'aritmetica non sono definibili in maniera chiare e non contraddittoria. La dimostrazione è alquanto banale: infatti, poiché i teoremi dell'aritmetica sono effettivamente gli enunciati veri dei numeri naturali in ℕ, che altro non sono che i numeri di Godel e quindi una loro estensione consistente e non contraddittoria; non sono quindi definibili per quanto riportato nel lemma 1 delle teorie esposto poco fa.  

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Gödel

In conclusione il concetto che dobbiamo introdurre è quello della numerazione di Gödel. Una numerazione di Gödel è un'associazione di numeri naturali detti anche numeri di Gödel ad espressioni o formule in un insieme per la quale è effettivamente calcolabile qual è il numero di Gödel di ogni formula, è decidibile se un numero è il numero di Gödel di qualche formula nell'insieme e, in tal caso, è effettivamente calcolabile l'associazione formula --> numero di Godel: per cui è chiaro che alcune affermazioni possono essere enunciate in modo univoco sia per i numeri di Godel che per le espressioni. Un esempio di assegnazione può essere fatta considerando la serie di espressioni riportata nella Tabella 15.1 ed una particolare numerazione di Gödel riportata nella tabella (15.2); per cui, tenendo presente le tabelle riportate ed indicando con gn numero di Golden, possiamo definire le seguenti associazioni: gn (x0) = 5, gn (x1) = 59, gn (f00) = 6 e cosi via.

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