Teorema di Helmholtz: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema di Helmholtz è famoso, nelle materie scolastiche di matematica e fisica, come la teoria essenziale del calcolo vettoriale. Esso prende il nome dal fisiologo e fisico Hermann Von Helmholtz (1821-1894), che viene ritenuto uno degli scienziati maggiormente produttivi e poliedrici della seconda metà dell'Ottocento. Membro dell'Accademia delle scienze prussiana, fu il primo ad utilizzare il termine "atomo di elettricità". Elaborò le sue ipotesi sostenendo che un semplice campo vettoriale regolare è totalmente determinato. Cio è possibile qualora risultino palesi la propria divergenza e il suo rotore in qualunque punto del proprio stesso dominio. Precisamente, soltanto in questa situazione, il campo è calcolabile con la somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale. Nei passaggi susseguenti di questa rapida e dettagliata guida, procederò con la dimostrazione del Teorema di Helmholtz!!!

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Occorrente

  • Buon manuale di fisica
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generalizzazione del teorema

Lo studio analitico della congettura di Hodge permette di giungere alla conclusione che rappresenta la generalizzazione della decomposizione di Helmholtz. In quest'ultima i campi vettoriali sono sostituiti dalle forme differenziali di una varietà riemanniana (risultante un insieme compatto). Siccome i campi vettoriali in "R3" non sono compatti, quindi, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz, specialmente se poi vengono prescritte delle condizioni determinanti di decrescita.

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Dimostrazione

La dimostrazione del Teorema di Helmholtz considera la "F" come un campo vettoriale differenziale con continuità, ma definito su di un dominio "V" comprendente "R3". Questa considera "F" come sommatoria tra un campo vettoriale irrotazionale ed un campo vettoriale solenoidale. Risulta quindi: "F = - campo irrotazionale + campo solenoidale", dove il dominio è il gradiente ed il dominio per il potenziale vettore "A" è il rotore. Qualora la "V" dovesse risultare corrispondente ad "R3" ed "F", l'integrale di superficie si annullerebbe.

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Conclusioni

Se decidete di scrivere esplicitamente i potenziali, dovrete formulare la decomposizione di Helmholtz, dove il nabla agisce con gli integrali (internamente) e le coordinate "r" (esternamente). Pertanto, potrete sottolineare che "F" risulti così totalmente calcolato dalla propria divergenza e dal suo rotore. Si potrebbe generalizzare il Teorema di Helmholtz riducendo le assunzioni di regolarità dei campi vettoriali. Ciascun campo vettoriale a quadrato sommato avrebbe una decomposizione ortogonale, dove "u" è pari al campo vettoriale irrotazionale più quello solenoidale. Nella dimostrazione sono stati aggiunti link per una più agevole consultazione dei vari aspetti della dimostrazione. Questa guida è un rapida sintesi della dimostrazione e conviene avere a disposizione un buon manuale di fisica per potersi esercitare e tradurre la dimostrazione in numeri passo dopo passo. Molti concetti quali gli integrali di superficie non sono di facile comprensione ed un ripasso a riguardo è molto importante. Gli strumenti matematici non sono difficili da applicare ma richiedono un certo sforzo concettuale per una buona applicazione delle formule. Consiglio vivamente un ripasso generale anche di altri concetti contrassegnati con un link. La formulazione è molto dettagliata e sviluppata in modo da rendere completa la dimostrazione per quanto possibile. Una dimostrazione è spesso difficile da capire e concettualmente, di solito, non è affatto semplice. Tuttavia l'applicazione pratica, come nella maggior parte dei casi, è facile ed immediata. In questo caso basta semplicemente seguire la formula e le regole ad essa associate.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Studiate profondamente i campi vettoriali.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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