Teorema di Heine-Borel: dimostrazione

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il Teorema di Heine-Borel afferma che un sottospazio di R^n (con la solita topologia) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Tale teorema può essere dimostrato mediante quello di Bolzano-Weierstrass. Inoltre, in chiave moderna è certamente possibile dare anche questa definizione: se un insieme S di numeri reali è chiuso e limitato, allora l'insieme S è compatto. Quindi, se un insieme S di numeri reali è chiuso e limitato, allora ogni copertura aperta della serie S ha una sotto copertura finita. Vediamo, nella guida che segue, la dimostrazione di questo teorema.

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Occorrente

  • Appunti
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Prendiamo in considerazione una successione

Se K è compatto, allora esso è chiuso da Rk che è uno spazio metrico; se K non è limitato, avremo scelto x1 in K. Poiché K non è limitato, esiste x2 ∈ K tale che | x2 |> | x1 | + 1. Siamo in grado, da
induzione, di costruire una successione {xn} tale che xn ∈ K e tale che | xn +1 |> | xn | + 1, per n = 1, 2,...; Se ci viene dato xn e xn +1 tale che entrambi siano in K e tale che | xn +1 |> | xn | + 1,
allora dato che K non è delimitato esiste xn +2 ∈ K tale che | xn 2 |> | xn +1 | + 1. Questo completa l'induzione e prova che tale sequenza esiste. Abbiamo così dimostrato che ogni sottoinsieme infinito di K ha un punto limite in K; per costruzione {xn} è in realtà un infinito sottoinsieme di K, quindi {xn} ha un punto xω ∈ K. Poiché B1 / 3 (xω) contiene infinitamente molti del xn, B1 / 3 (xω) Limite contiene un XM tale che | xm |> | xω | + 1 (in caso contrario tutte le xn avrebbero dovuto soddisfare | xn | ≤ | xω | + 1e noi possiamo mostrare in vari modi che {xn} non è limitato). Questo ci dà una contraddizione: |xω| + 1 < |xm| < |xω| + |xm − xω| < |xω| + 1/3. Quindi K è limitato.

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Supponiamo che K sia chiuso e limitato

Ora supponiamo che K sia chiuso e limitato, poi c'è una k-cella C: = [a1, b1] × · · · × [ak, bk] che contiene K; ci si rivelerà in un Lemma che k-cellule sono compatte. Allora poiché K è un sottoinsieme chiuso di un compatto, K è compatto. Questo completa la dimostrazione tranne che per dimostrare il Lemma: ogni lemma k-cellula in Rk è un insieme compatto. Se indichiamo con EJ = bj - aj ≥ 0 il j-esimo bordo-lunghezza di C0, il j-esimo bordo-lunghezza di Cn è 2-nej. Infine, se indichiamo con A, j j-esimo bordo di Cn, abbiamo (per ogni j) una successione decrescente di intervalli chiusi i cui diametri si avvicinano a zero.

Continua la lettura
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Scegliamo una delle sue celle

Dimostreremo ciò mostrando che ogni sottoinsieme infinito di una k-cellula ha un punto limite nella k-cellula. Dato k cella arbitraria da C: = [a1, b1] × · · · × [ak, bk] supponiamo che E è un sottoinsieme infinito di C e pensiamo C come C0, dividendo ciascuno dei suoi bordi k [aj, bj], j = 1,. . ., K in due, in due intervalli chiusi. In questo modo otterremo subcelle 2k e almeno uno di queste subcelle contiene infiniti punti da E (in caso contrario E sarebbe l'unione di un numero finito di insiemi finiti, quindi finito). Scegliamo una delle sue celle che contiene infiniti punti di E e chiamiamolo C1; dopo aver fatto questo una volta che possiamo ripeterlo e, per induzione, ottenere una sequenza {Cn} di k-cellule tali che Cn +1 ⊆ Cn, e ogni Cn contiene infiniti punti di E.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Cercate di concentrarvi bene quando leggerete la dimostrazione.
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