Teorema di Heine-Borel: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
16

Introduzione

Il Teorema di Heine-Borel afferma che un sottospazio di R^n (con la solita topologia) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Tale teorema può essere dimostrato mediante quello di Bolzano-Weierstrass. Inoltre, in chiave moderna è certamente possibile dare anche questa definizione: se un insieme S di numeri reali è chiuso e limitato, allora l'insieme S è compatto. Quindi, se un insieme S di numeri reali è chiuso e limitato, allora ogni copertura aperta della serie S ha una sotto copertura finita. Vediamo, nella guida che segue, la dimostrazione di questo teorema.

26

Occorrente

  • Appunti
36

Prendiamo in considerazione una successione

Se K è compatto, allora esso è chiuso da Rk che è uno spazio metrico; se K non è limitato, avremo scelto x1 in K. Poiché K non è limitato, esiste x2 ∈ K tale che | x2 |> | x1 | + 1. Siamo in grado, da
induzione, di costruire una successione {xn} tale che xn ∈ K e tale che | xn +1 |> | xn | + 1, per n = 1, 2,...; Se ci viene dato xn e xn +1 tale che entrambi siano in K e tale che | xn +1 |> | xn | + 1,
allora dato che K non è delimitato esiste xn +2 ∈ K tale che | xn 2 |> | xn +1 | + 1. Questo completa l'induzione e prova che tale sequenza esiste. Abbiamo così dimostrato che ogni sottoinsieme infinito di K ha un punto limite in K; per costruzione {xn} è in realtà un infinito sottoinsieme di K, quindi {xn} ha un punto xω ∈ K. Poiché B1 / 3 (xω) contiene infinitamente molti del xn, B1 / 3 (xω) Limite contiene un XM tale che | xm |> | xω | + 1 (in caso contrario tutte le xn avrebbero dovuto soddisfare | xn | ≤ | xω | + 1e noi possiamo mostrare in vari modi che {xn} non è limitato). Questo ci dà una contraddizione: |xω| + 1 < |xm| < |xω| + |xm − xω| < |xω| + 1/3. Quindi K è limitato.

46

Supponiamo che K sia chiuso e limitato

Ora supponiamo che K sia chiuso e limitato, poi c'è una k-cella C: = [a1, b1] × · · · × [ak, bk] che contiene K; ci si rivelerà in un Lemma che k-cellule sono compatte. Allora poiché K è un sottoinsieme chiuso di un compatto, K è compatto. Questo completa la dimostrazione tranne che per dimostrare il Lemma: ogni lemma k-cellula in Rk è un insieme compatto. Se indichiamo con EJ = bj - aj ≥ 0 il j-esimo bordo-lunghezza di C0, il j-esimo bordo-lunghezza di Cn è 2-nej. Infine, se indichiamo con A, j j-esimo bordo di Cn, abbiamo (per ogni j) una successione decrescente di intervalli chiusi i cui diametri si avvicinano a zero.

Continua la lettura
56

Scegliamo una delle sue celle

Dimostreremo ciò mostrando che ogni sottoinsieme infinito di una k-cellula ha un punto limite nella k-cellula. Dato k cella arbitraria da C: = [a1, b1] × · · · × [ak, bk] supponiamo che E è un sottoinsieme infinito di C e pensiamo C come C0, dividendo ciascuno dei suoi bordi k [aj, bj], j = 1,. . ., K in due, in due intervalli chiusi. In questo modo otterremo subcelle 2k e almeno uno di queste subcelle contiene infiniti punti da E (in caso contrario E sarebbe l'unione di un numero finito di insiemi finiti, quindi finito). Scegliamo una delle sue celle che contiene infiniti punti di E e chiamiamolo C1; dopo aver fatto questo una volta che possiamo ripeterlo e, per induzione, ottenere una sequenza {Cn} di k-cellule tali che Cn +1 ⊆ Cn, e ogni Cn contiene infiniti punti di E.

66

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Cercate di concentrarvi bene quando leggerete la dimostrazione.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Lagrange: dimostrazione

Quante volte abbiamo provato la dimostrazione di un teorema ognuno con il proprio modo di dare risultati diversi. Il Teorema di Lagrange nella sua dimostrazione non è così intuitivo per chi non dimostra conoscenze matematiche e geometriche. C'è chi...
Università e Master

Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle...
Università e Master

Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem...
Università e Master

Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello...
Università e Master

Teorema della curva di Jordan: dimostrazione

Teorema ricorrente negli studi di materie universitarie come la geometria, l'analisi e la topologia di spazi euclidei è il Teorema della Curva di Jordan. Sono infatti moltissimi gli enunciati che, a partire da questo teorema, ci restituiscono soluzioni...
Università e Master

Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione

Il Teorema di Krasnoselskii è uno dei teoremi di punto fisso che sono uno dei principali strumenti dell'analisi matematica non lineare. Questi teoremi hanno una miriade di applicazioni pratiche. I suoi risultati riguardano un operatore singolo; ma le...
Università e Master

Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione

Questa guida dal titolo "Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione" si prefigge di dimostrare cos'è. Il Teorema di Eulero può essere considerato in alcuni casi la conseguenza del teorema di Lagrange, che spiegherò in modo dettagliato nei...
Università e Master

Teorema di Eulero: dimostrazione

Il Teorema di Eulero (chiamato anche Teorema di Fermat-Eulero) dimostra che se è un intero positivo e un coprimo (interi che non hanno nessun divisore a eccezione di 1 e -1, se il loro massimo comune divisore è 1) rispetto a. In questo modo φ() ≡...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.