Teorema di Hartogs (teoria degli insiemi): dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è una materia tanto affascinante quanto complessa. Una volta capita e compresi i suoi meccanismi studiarla risulterà molto più semplice, e in alcuni casi anche divertente. In questa guida parlerò di teoria degli insiemi, in particolare vi spiegherò il Teorema di Hartogs con la sua relativa dimostrazione. La teoria degli insiemi si colloca nell'ambito della logica matematica. È la branca della matematica che studia i sistemi formali per quanto riguarda il modo di codificare i concetti intuitivi. La dimostrazione e computazione come parte dei fondamenti della scienza matematica. Analizziamone quindi la dimostrazione attraverso pochi e semplici passaggi di questa guida. Mettiamoci all'opera.

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Occorrente

  • Libri di matematica
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Teorema di Hartogs: Friedrich Haetogs

Il Teorema di Hartogs, che venne dimostrato dal matematico tedesco Friedrich Hartogs (Bruxelles, 20 maggio 1874 – Monaco di Baviera, 18 agosto 1943), afferma che dati due insiemi qualsiasi che chiameremo A e B: la Cardinalità di A ≤ della Cardinalità di B; oppure che la Cardinalità di B è ≤ della Cardinalità di A.

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Il concetto di Cardinalità:

Nella teoria degli insiemi intendiamo per cardinalità (detta anche numerosità oppure potenza) di insieme finito il numero dei suoi elementi. Riconducendoci all'enunciato precedente, possiamo affermare che tutti gli insiemi, anche se illimitati, hanno cardinalità comparabile.

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Dimostrazione dell'assioma

Andiamo ora a dimostrare che l'assioma della scelta implichi che tutte le cardinalità siano comparabili. Presi A e B, due insiemi, ponendo (P, ≤). Cioè un insieme parzialmente ordinato tale.
1) Gli elementi di P sono terne (X, F, Y) dove X ⊂ A, Y ⊂ B e F è una iniezione da X a Y.
2) La relazione d'ordine ≤ è la seguente: (X, F, Y) ≤ (X1, F1, Y1) se e solo se X ⊂ X1, Y ⊂ Y1 e F1 ristretta a X è uguale a F.

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Elementi massimali

Sia C una catena di (P, ≤) tale che (X1, F1, Y1) ≤ (X2, F2, Y2) ≤ (X3, F3, Y3)... ≤ (Xi, Fi, Yi) ≤ ...
Siano:
W:= X1 U X2 U X3... U Xi ... = Ui XiZ:= Y1 U Y2 U Y3... U Yi ... = Ui Yi
Poniamo g (la funzione) da W a Z tale che se x ∈ Xi allora g (x) = Fi (x). Funzione iniettiva e ben definita, W ⊂ A e Z ⊂ B, quindi (W, g, Z) ∈ (P, ≤).
(W, g, Z) è maggiorante di C, infatti Xi ⊂ W e Yi ⊂ Z, per ogni indice i, e g ristretto a Xi uguale a Fi per definizione di g. Sono in questo modo verificate le ipotesi dell'assioma della scelta, in questo modo esiste un elemento massimale (M, h, N).

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Fare pratica con gli esercizi

È dimostrato dunque che M = A o N = B e supponendo per assurdo che ciò sia falso, ossia che M ≠ A e N ≠ B si ha quindi che esistono a ∈ A \ M e b ∈ B \ N. Tuttavia questo è assurdo poiché (M, h, N) è massimale. Da qui ne consegue che M = A o N = B, quindi vi è una iniezione da A in un sottoinsieme di B o da B in un sottoinsieme di A, deduciamo dunque che: la Cardinalità di A ≤ della Cardinalità di B; oppure che la Cardinalità di B è ≤ della Cardinalità di A.
Per poter apprendere e assimilare meglio i concetti matematici, è necessario fare molta pratica con gli esercizi, che sono la via più diretta e semplice per imparare a fondo i vari teoremi. Seguendo le istruzioni e le spiegazioni di questa guida avrete uno strumento in più per arrivare alla risoluzione del problema molto più in fretta, ed integrare il vostro materiale di studio.
Non mi resta che augurarvi buon lavoro e buono studio.
Alla prossima.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Su internet potete aiutarvi con i vari siti dedicati al teorema di Hartogs
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