Teorema di Hamilton-Cayley: dimostrazione

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tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il Teorema di Hamilton-Cayley si esprime nella seguente modalità: se "T: V --> V" rappresenta un endomorfismo di uno spazio vettoriale su "R", il polinomio caratteristico "p (T)" è nullo. Ciò significa che, qualora si consideri una matrice quadrata (indicata attraverso la lettera "A") con "n" righe il cui polinomio caratteristico viene indicato con "p (x)", si avrà "p (A) = 0". Per comprendere il Teorema di Hamilton-Cayley e poter scrivere la propria dimostrazione, proseguite nella lettura della seguente guida.

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Enunciato

Un'applicazione o trasformazione lineare tra due spazi vettoriali ("V" e "W") è una funzione "T: V --> W", tale che:
- "T (v1+v2) = T (v1) + T (v2)", per tutti i "v1" e "v2" appartenenti allo spazio vettoriale "V" (in questo caso, "T" è additiva);
- "T (jv) = jT (v)", per tutti i "j" che appartengono ai numeri reali (R) e tutti i "v" appartenenti a "V"(in tal caso, "T" è omogenea).
In altre parole, si può dire che un'applicazione lineare trasforma, rispetta e conserva le operazioni dallo spazio iniziale a quello d'arrivo: se "V = W", si asserisce ad un endomorfismo oppure un operatore lineare.

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Dimostrazione

Per polinomio caratteristico (che dev'essere nullo) si intende quello definito nel seguente modo: "pa (x) = det (A-xI)", dove "A" indica la matrice quadrata di ordine "n". Una matrice si dice diagonalizzabile quando, per ciascun autovalore, la molteplicità geometrica e quella algebrica corrispondono. Una matrice viene considerata simile ad un'altra quando, pur avendo delle basi differenti, rappresentano il medesimo endomorfismo. Precisamente, qualora due matrici ("A" e "B") siano quadrate, ne esisterà un'altra invertibile (M), tale che "A = (1 / M) BM": ciò significa che la matrice nulla e quella identità possono essere simili soltanto a se stesse.

Continua la lettura
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Fase conclusiva

Con riferimento alla dimostrazione del Teorema di Hamilton-Cayley, supponete che "A" sia una matrice quadrata diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi e con "n" righe. In questa situazione, "A" sarà simile alla matrice "D", per cui esiste una matrice invertibile (M) e si avrà che "A = (1/M) DM". Siccome "A" e "D" sono simili, essi hanno il medesimo polinomio caratteristico e, quindi, si avrà "p (A) = p ((1/M) DM) = (1/M) p (D) M = (1/M) DM = 0".

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Esempio

Per comprendere meglio l'enunciato del Teorema di Hamilton-Cayley, è possibile fare un semplice esempio e considerare che la matrice "A" è costituita da quattro numeri ("1", "2", "3" e "4"). Il polinomio caratteristico della seguente matrice sarà "p (j) = (1 - j) (4 - j) - (2 * 3) = (j * j) - (5j) - 2". Per la teoria dell'irlandese William Rowan Hamilton e dell'inglese Arthur Cayley, il polinomio caratteristico sarà "(A * A) - 5A - 2 = 0". Come potete notare, per comprendere il teorema in questione è necessario avere già Delle conoscenze di basi della materia. In ogni caso, lo studio sarà sufficiente per capire e padroneggiare l'argomento.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • È bene studiare con attenzione per comprendere appieno il suddetto teorema.
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