Teorema di Hahn-Banach: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

L'analisi funzionale, in matematica, presenta il Teorema di Hahn-Banach (ideato negli anni '20 grazie a Hans Hahn e Stefan Banach). Questo teorema permette di eseguire l'estensione e la dimostrazione di operatori limitati definiti su di un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio (in senso più generale). Inoltre grazie al teorema di Hahn-Banach possono essere mostrate anche funzioni lineari continue sufficienti su definiti su ogni spazio normato. Questo consente di rendere lo studio dello spazio duale estremamente interessante.

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Occorrente

  • Conoscenze di Matematica e algebra lineare
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Coincidenza della funzione in ogni punto del dominio

All'interno del teorema di Hahn-Banach si pone V come spazio vettoriale all'interno di un campo K. Il campo K può essere reale R oppure complesso C). La funzione f: V -> R (il quale viene definito sublineare). In questo modo ogni seminorma e norma su V viene definita sublineare. Si dice inoltre che la funzione F sia l'estensione delle funzione f, qualora il dominio di F contenga quello di f e le altre funzioni coincidano ad ogni punto del dominio iniziale di f. Ecco un sito che sicuramente fa a caso nostro. https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Hahn-Banach.

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Le due forme geometriche del teorema

Grazie al teorema di Hahn-Banach si possono creare due diverse forme geometriche. Nella prima forma geometrica viene posto X come spazio vettoriale normato su R, A, B (due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti) di X. Supponendo che uno di essi sia aperto, si giunge alla conclusione che esiste un iperpiano di equazione f=a che separa A e B. Nella seconda forma geometrica viene posto X come spazio vettoriale normato su R, A, B (due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti) di X. Supponendo che almeno uno di essi sia compatto si giunge alla conclusione che esiste un iperpiano di equazione f=a, il quale separa A e B in senso stretto. Ecco qualche altra informazione per approfondire questo teorema. https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=129637.

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Completamento della dimostrazione del Teorema

Conseguentemente il teorema porta, talvolta, a diverse soluzioni ed ipotesi. Infatti se V è uno spazio normato, il sottospazio U (il quale non deve essere necessariamente chiuso) può essere U -> K. Questo porta a sostenere che lo stesso sia lineare e continuo. In questo modo si sostiene che esiste un'estensione V -> K (la quale sarà a sua volta lineare e continua) poiché possiede la stessa norma della precedente. Se invece V è uno spazio normato con sottospazio U (il quale non deve essere necessariamente chiuso) e se z è un elemento che compone V, il quale non viene contenuto nella chiusura di U, si dice che esiste un'applicazione lineare e continua in cui V -> K con x=0 e x in U (per ogni volta che z=1 oppure z=-1). Grazie a queste due ipotesi Mizar project ha potuto formalizzare e controllare, in modo completamente automatico, la dimostrazione del teorema di Hahn-Banach. Sicuramente qui troverete delle informazioni per completare lo studio di questo teorema. http://www-dimat.unipv.it/giulio/linkedmaterial/af/analfunz1011.pdf.

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