Teorema di Green: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
17

Introduzione

Il Teorema di Green fa parte di quel corollario di tematiche inerenti all'analisi matematica. Quando si studia questo teorema, è opportuno conoscere in maniera piuttosto approfondita l'ambiente degli integrali e le varie metodologie relative al calcolo degli stessi. Il teorema di Green lega un integrale curvilineo, lungo una curva semplice chiusa, con un integrale doppio su una regione in cui la curva chiusa ne costituisce il contorno. Questo enunciato non è molto semplice da comprendere. Tuttavia, grazie alla seguente guida, cercheremo di analizzarne la dimostrazione. Se non conosciamo la metodologia di risoluzione degli integrali, è bene studiarla prima di affrontare il Teorema di Green.

27

Occorrente

  • Manuale di analisi matematica
  • Conoscenze base sul calcolo delle derivate e degli integrali
37

Analisi preliminare dell'enunciato

Per capire meglio la dimostrazione del Teorema di Green, cominciamo con l'analisi dell'enunciato. In esso si afferma che data una superficie "S", avremo una frontiera di tale porzione del piano, riconoscibile con la formula "Fr+S". Tale formula rappresenta una curva semplice regolare che si orienta a tratti nel verso positivo. Inoltre, dobbiamo considerare "f" e "g" come funzioni di due variabili reali che trovano un continuum in funzioni derivate parziali in "S". Da qui possiamo osservare che l'integrale doppio che si applica a S di (g_x - f_y) dx dy, equivarrà all'integrale lungo la Fr+S di (f dx + g dy), con g_x come derivata parziale di g rispetto ad x e f_y come derivata parziale di f rispetto ad y. Come possiamo ben vedere, l'enunciato in sé è piuttosto complesso. Andiamo a vedere come renderlo più chiaro con la dimostrazione.

47

Dimostrazione del teorema per mezzo di due specifiche equazioni

Per la dimostrazione del Teorema di Green, possiamo ricorrere a due specifiche equazioni. La prima stabilisce che l'integrale lungo Fr+S di f dx è uguale al "- integrale" doppio lungo S di f_y ds. Allo stesso modo, con la seconda eqauzione, vedremo che l'integrale lungo Fr+S di g dy è uguale al "+ integrale" doppio lungo S di g_x ds. Andiamo ad esprimere S come regione compresa lungo x da due valori a, b e lungo y fra due funzioni g1(x) e g2(x) con g1(x) e g2(x) funzioni continue. Ora riscriviamo meglio il tutto, esplicitando gli estremi della prima equazione. L'integrale doppio lungo S di f_y ds è uguale all'integrale doppio con gli estremi a, b e g1(x), g2(x) di f_y dx dy. Ne deriva un'equivalenza con l'integrale fra a, b di f (x, g2(x))-f (x, g1(x)) dx.

.

Continua la lettura
57

Suddivisione del bordo in 4 parti e identificazione dei vari tratti

Ora andiamo a suddividere il bordo di S in 4 parti (S1, S2, S3 ed S4) per proseguire con la dimostrazione del Teorema di Green. Avremo due tratti rettilinei e due tratti funzione. Nei rettilinei S2 e S4 l'integrale varrà zero, mentre nei tratti funzione useremo una parametrizzazione di x e y con x=x e y=g1(x). Da qui ne consegue che l'integrale lungo Fr+S1 di f dx dy è uguale all'integrale da a, b di f (x, g1(x)) dx. Nell'altro tratto rettilineo x=x e y=g2(x) vedremo che l'integrale lungo Fr+S3 di f dx dy è uguale al - integrale da a, b di f (x, g2(x)) dx. In definitiva possiamo osservare che l'integrale lungo Fr+S di f dx corrisponde alle somme degli integrali lungo le 4 porzioni di S ed equivale perciò al - integrale da a, b di f (x, g2(x)) dx + integrale da a, b di f (x, g1(x)) dx.

67

Somma degli integrali e parte finale della dimostrazione

Facendo la somma dell'integrale che vediamo nel passaggio precedente con l'integrale doppio della prima relazione che abbiamo definito prima, otterremo questa equazione: "integrale lungo Fr+S di f (x, y) dx = - integrale doppio lungo S di f_y ds". Quella che abbiamo appena dimostrato è spòtanto la prima relazione. Per dimostrare anche la seconda si agisce in modo analogo. In sostanza do tratta di effettuare le dovute sostituzioni per quanto riguarda funzioni, variabili ed eventuali segni. Ad ogni modo, se non abbiamo le basi adeguate, tutto questo procedimento ci risulterà incomprensibile. Cerchiamo quindi di approfondire l'argomento con un buon manuale di analisi matematica. Solo a quel punto potremo comprendere appieno la dimostrazione del Teorema di Green.

77

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Come già detto nell'introduzione, la comprensione di questo teorema si basa su conoscenze pregresse di calcolo integrale e derivazione. Pertanto, cerchiamo di non avviarci digiuni di queste competenze al suo apprendimento, poiché rischieremmo di capirci poco o nulla.
  • Il teorema di Green viene visto anche come un caso particolare del Teorema di Stokes. Se ci interessa approfondire l'argomento, non dovremo fare altro che consultare un buon manuale di analisi matematica.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle...
Università e Master

Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem...
Università e Master

Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello...
Università e Master

Teorema della curva di Jordan: dimostrazione

Teorema ricorrente negli studi di materie universitarie come la geometria, l'analisi e la topologia di spazi euclidei è il Teorema della Curva di Jordan. Sono infatti moltissimi gli enunciati che, a partire da questo teorema, ci restituiscono soluzioni...
Università e Master

Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione

Il Teorema di Krasnoselskii è uno dei teoremi di punto fisso che sono uno dei principali strumenti dell'analisi matematica non lineare. Questi teoremi hanno una miriade di applicazioni pratiche. I suoi risultati riguardano un operatore singolo; ma le...
Università e Master

Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione

Questa guida dal titolo "Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione" si prefigge di dimostrare cos'è. Il Teorema di Eulero può essere considerato in alcuni casi la conseguenza del teorema di Lagrange, che spiegherò in modo dettagliato nei...
Università e Master

Teorema di Eulero: dimostrazione

Il Teorema di Eulero (chiamato anche Teorema di Fermat-Eulero) dimostra che se è un intero positivo e un coprimo (interi che non hanno nessun divisore a eccezione di 1 e -1, se il loro massimo comune divisore è 1) rispetto a. In questo modo φ() ≡...
Università e Master

Teorema di Desargues: dimostrazione

Come avrete già potuto comprendere leggendovi il titolo che accompagna la nostra guida, ora ci concentreremo su un tema davvero importante. La materia che tratteremo sarà la geometria analitica, in quanto proveremo, nei prossimi tre passi, a spiegare...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.