Teorema di Grassman

Tramite: O2O 03/06/2017
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il Teorema di Grassman prende il suo nome da un matematico di origine tedesca, che si chiamava per l'appunto Hermann Grassmann. Si tratta di una relazione matematica con la quale le dimensioni dei sottospazi vettoriali sono legate alle dimensioni del loro relativo spazio vettoriale che li contiene. Svolgendo questa funzione attraverso lo sviluppo di due teoremi, ovvero quello della struttura e quello della dimensione, sarà possibile quindi ricavare la dimensione, la struttura ed il rango di un nuovo spazio vettoriale.

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Occorrente

  • Conoscenze di base di geometria e algebra lineare
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Formula

Il teorema di Grassman viene indicato con la seguente formula: dim (U+W) = dim U + dim W - dim (U int W). Essa può essere piegata in questo modo: Sia V uno spazio vettoriale e siano, invece, U e W i suoi sottospazi vettoriali, la dimensione di U + W risulterà pari alla somma delle dimensioni di U e di W meno la dimensione della loro intersezione.

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Dimostrazione

Per dare una dimostrazione del Teorema di Grassman ci si rifà al teorema del completamento, il quale afferma che presa una base di uno spazio vettoriale, ovvero B, che sia costituita da n vettori v (B = v (1),..., v (n)), e un'altra base P, costituita da p vettori w (P= w (1),... W (p)) tali che p minori o uguali a n, esistono n-p vettori tali che aggiunti a P si possa creare una base di V. Presa infatti B base di (U int W) costituita da k vettori u avremo B (u)=u (1),..., u (k), u (k+1),... U (n) base di U e B (w)=u (1),..., u (k), v (k+1),... V (n) base di W.
Si può in pratica definire B (u) come la somma dei p+n vettori (B (u)=(p+n)) ovvero dei p vettori costituenti (U int W) insieme agli n vettori di U e conseguentemente si potrà trarre la stessa conclusione per B (w), congruente alla somma dei p+m vettori (B (w)=(p+m)) costituiti sempre dagli stessi p vettori di (U int W), sommati però agli m vettori di W.
Con questi elementi è possibile allora affermare che la dim (U+W) = p+n+p+m-p, si otterrà allora che dim (U+W)=p+n+m, ma p è proprio dim (U int W) mentre n e m sono rispettivamente dim (U) e dim (W), quindi è stato dimostrato che dim (U+W)=dim (U)+dim (W)-dim (U int W).

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Spiegazione

Con lo sviluppo del Teorema di Grassman è stato possibile applicare nella geometria vettoriale tutto quello che in pratica veniva già applicato in matematica durante lo studio delle intersezioni degli insiemi. I due principi infatti non sono molto differenti l'uno dall'altro. Nella matematica di base però la somma di due insieme è univoca alla somma dei singoli insiemi dalla quale veniva sottratta l'intersezione dei due. Riportando ciò nella geometri vettoriale si può dedurre che due sottospazi avranno le stesse dimensioni dello spazio che li contiene oppure dimensioni minori.

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