Teorema di Goodstein: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è da sempre la materia più complessa e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono strettamente connessi tra loro, per cui è necessario comprenderli appieno onde evitare di avere problemi negli studi futuri. Nella seguente guida parleremo del Teorema di Goodstein, che afferma che tutte le sequenze di Goodstein, qualunque sia il valore iniziale, raggiungono lo 0. Ecco la giusta spiegazione della dimostrazione di questo teorema.

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Le due definizioni generali

Definizione 1. Dati due numeri m>0 e n>, andiamo a definire m, ovvero:
m (n = ∑ ai * nei = a1 ·ne1 +...+ak ·nek 1≤i≤kdove i >0, e1 >...>ek ≥0, n>a1,..., ak−1 >0
Esempi (1) 21(2 = 24 + 22 + 1. (2) 261(2 = 28 + 22 + 1.
Definizione 2. Dati due numeri naturali m>0 e n⩾2, l'espressione del numero m in pura base n verrà così definita: sia m in base n come
m (n = ∑ ai ·nei =a1 ·ne1 +...+ak ·nek 1≤i≤k
con le medesime condizioni della definizione 1.

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La definizione di m

Di conseguenza, la definizione di m in pura base n è :
m[n = m si m < n, y m[n = ∑ 1≤i≤k ai · nei [n nell'altro caso.
Ciò significa che dobbiamo esprimere il numero m in base n, stando particolarmente attenti ad esprimere a loro volta gli esponenti, gli esponenti degli esponenti, etc, anche in base n, finché non viene stabilita l'espressione.
Facciamo un esempio: (2)261[2 =28[2 +22[2 +1=223[2 +22+1=222+1 +22+1.

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Terza e quarta definizione

Nella terza definizione, sia m>0, n⩾2 e x⩾n o x= ωDefiniamo il risultato di sostituire nella espressione di m in pura base n, la base n per x operazioni che chiamiamo mx (n y mx[n rispettivamente in questo modo: calcoliamo il maggior esponente e di n tale che ne non superi me=m ́ax{k: nk ≤m}
e una volta calcolato e, calcoliamo il maggior coefficiente al quale a*ne non superi m.
a=max {k: k·ne ≤m} Una volta definiti e e a definiamo:
m[n:= m si me a definiamo:
m[n := m se mEsempi:
(1)213[2 =343[2 +53[2 =333 +33+1. (2) 21ω(2 = ω4 + 5ω(2 = ω4 + ω2 + 1.
Osservazione: è chiaro che mn (n = mn[n = m per qualunque ≥ 0, n ≥ 2.
Nella quarta definizione, per qualunque k>2 definiamo la funzione ok ω → ωω e Ok ω → ε0 nel seguente modo:
ok (n) := nω(k e Ok (n) := nω(k.

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Sequenze deboli di Goodstein

È importante ricordare che se m rappresenta un numero naturale e m0=m, costruiamo m1 nel seguente modo: sostituiamo la base 2 per 3 nell'espressione in base 2 di m1 e sottraiamo 1 al risultato, quindi: m1 = (m0)3(2 − 1
I seguenti elementi mi della serie si costruiscono applicando lo stesso procedimento visto in precedenza. In generale:
mi+1 = (mi) i+3 − 1.

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