Teorema di Gibbard-Satterthwaite: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è da sempre la materia più complicata sia per i bambini delle scuole elementari, sia per gli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti matematici sono collegati tra di essi, per cui è necessario comprenderli a pieno onde evitare di avere difficoltà negli studi futuri. Nella seguente guida parleremo del Teorema di Gibbard-Satterthwaite, il quale afferma che la dittatura è l'unico meccanismo di voto che non può essere manipolato. Tale teorema è strettamente connesso a quello dell'impossibilità di Arrow. Nella seguente guida verrà fatta una semplice dimostrazione del teorema, adattandolo ad un'idea usata da Geanakoplos in una delle sue semplici prove del teorema di Arrow.

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Impostazione di un profilo rigoroso arbitrario

La dimostrazione continua nel seguente modo. Si comincia con un profilo rigoroso arbitrario nel quale ognuno si classifica come A; anche l'alternativa B non è selezionata, potrebbe comunque essere selezionata se i votanti, uno alla volta, sollevata dalla A alla parte superiore dei loro profili, contraddicono l'unanimità.

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Dimostrazione

Ora, partendo dall'individuale 1 e continuando in ordine con gli altri elettori uno alla volta, hanno saltato B dal fondo di ogni classifica all'inizio (lasciando le altre rispettive classificazioni in posizione). Sia R l'individuo cardine per cui il salto provoca B da selezionare. Cioè, con il profilo di:

1 2... R-1 r r+1 n

B B B... B K A... C
D E : : :
: : :
: : :
T F S B B B... B

Questo è il profilo 1, dove B non è selezionata, mentre con il profilo 2:

1 2... R-1 r r+1... N

B B B... B B A... C

D E: K :
: : :
: : :
T F S B B... B

Di conseguenza, B è selezionato.

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Esempio pratico

In fine supponiamo che ci siano almeno tre alternative e che per ogni individuo qualsiasi ci sia una rigorosa graduatoria di queste alternative ammissibili; quindi la strategia-prova di funzione scelta sociale è una dittatura. Supponiamo di avere una strategia a prova di funzione di scelta sociale unanime e abbiamo dimostrato che uno degli elettori deve essere un dittatore. Per prima cosa supponiamo che l'alternativa A è selezionata da qualche profilo di preferenza e modifichiamo il profilo sollevando qualche X alternativa ad individuo i della graduatoria. Allora o A o X sono selezionati. Supponiamo invece che, quando X aumenta alcuni C alternativi diversi da A e X, vengano scelti, poi se si preferisce a C non si dovrebbe segnalare la modifica, mentre se si preferisce C alla A dovrebbe essere erroneamente segnalato questo cambiamento in precedenza.

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