Teorema di Gelfond: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

L'ambito dello studio delle scienze matematiche ha da sempre avuto grande successo in quanto, al contrario di quello che si pensa comunemente, l'applicazione della matematica, delle sue formule e delle dimostrazioni, risulta particolarmente utile nella vita quotidiana e nella gestione delle proprie risorse, indipendentemente dalla tipologia di lavoro che si svolge. Nei secoli sono stati tantissimi gli uomini che hanno dedicato la loro vita allo studio di questa materia ed è stato per merito loro se al giorno d'oggi siamo a conoscenza di numerosi fenomeni e studi scoperti e studiati da loro stessi.
In questa guida, in particolare, ci occuperemo dell'utilizzo e dell'applicazione del Teorema di Gelfond: nello specifico, andremo a vedere assieme, passo dopo passo, la sua dimostrazione.

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Conoscere la storia

Cominciamo subito con un po' di storia, che aiuta a comprendere meglio la nascita e lo sviluppo di questo teorema. Aleksandr Gelfond nacque nei primi anni del 1900 nella Ex Unione Sovietica. È stato sicuramente uno dei matematici più importanti del suo secolo ed i suoi numerosi studi hanno aperto la strada di quelli che sarebbero stati gli anni futuri della matematica. Ha trascorso gran parte della sua vita ad insegnare matematica all'Università di Mosca. Il teorema di Gelfond-Schneider venne formulato indipendentemente da A. O. Gelford e T. Schneider nel 1934 per spiegare in parte il settimo problema di Hilbert. Esso stabilisce che se a^b è formato da un qualsiasi numero algebrico a ≠0;1 e da b irrazionale algebrico, allora è trascendente. Andiamo ora a vedere la dimostrazione.

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Dimostrare il teorema

Per cominciare la fase dimostrativa, prendiamo in considerazione a e b algebrici (possibilmente complessi), tali che a∉{0,1}. Se b è un numero irrazionale, allora ogni valore di a^b è trascendente. Si ponga a tale che a sia un numero algebrico e a≠0, a≠1, mentre b tale che b sia un numero algebrico tale che anche a^b risulti algebrico. Troveremo il nostro risultato quando riusciremo a dimostrare che b∈Q. Per prima cosa consideriamo il caso speciale in cui a, b∈R e a>0. Ci basti sapere che ln a∈R. Osserviamo che a^(s1+bs2) è un numero algebrico per tutti i valori interi di s1 e s2. Per stabilire il nostro risultato sarà necessario dimostrare che ci sono 2 diverse coppie di interi per i quali s1+s2=s′1+bs′2 b; poiche b=(s1−s'1)/(s2−s'2) ∈Q. Stabiliamo S abbastanza grande in modo che possano esistere le coppie per cui 0≤s1, s2, s′1, s′2≤S.1 LEMMA sia a1(t),..., an (t) un polinomio non nullo in R[t] di grado rispettivamente d1,..., dn. Siano w1,..., wn coppie distinte di numeri reali. Allora: F (t): (sommatoria per j che va da 1 a n di) aj (t) e^wj t che ha al massimo d1 + ... + dn +n -1 radici reali (considerando le molteplicità).

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Applicare il teorena

Andiamo ora a vedere il secondo lemma. Sia f (z) una funzione analitica nel disco D⊆C: D={z:|z|Per esempio, si prande S elevato: L0=⌊SlnS⌋, L1=⌊S/lnS⌋Si noti che si può considerare c=lnlnS. Si consideri (2S -1)^2 con le coppie intere S1, S2 e (s1(i), s2(i)) con |s1|LXL di M (2).
Si usi il Lemma 3 per ottenere il limite superiore B1 per il valore assoluto di Δ (o piu specificatamente, il limite superiore per ln|Δ|) (3) Si usi il lemma 4 per motivare che se Δ≠0, allora |Δ|≥B2 per qualsiasi B2>B1 (4) si concluda che Δ deve essere 0 e che, quindi, il grado di M è Gelfond-Schneider. Dalla formula di Eulero possiamo ricavare che e^i pi/2 =i
Elevando entrambi i membri per i avremo che e^pi=1/i^2i =i^-2i e quindi poiché i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, per il teorema di Gelfond è dimostrato che è trascendente. Come avrete capito, l'applicazione e la dimostrazione del teorema non sono particolarmente complesse, ma per comprenderlo e saperlo applicare occorre avere delle buone basi di matematica.

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