Teorema di Gelfond: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
14

Introduzione

L'ambito dello studio delle scienze matematiche ha da sempre avuto grande successo in quanto, al contrario di quello che si pensa comunemente, l'applicazione della matematica, delle sue formule e delle dimostrazioni, risulta particolarmente utile nella vita quotidiana e nella gestione delle proprie risorse, indipendentemente dalla tipologia di lavoro che si svolge. Nei secoli sono stati tantissimi gli uomini che hanno dedicato la loro vita allo studio di questa materia ed è stato per merito loro se al giorno d'oggi siamo a conoscenza di numerosi fenomeni e studi scoperti e studiati da loro stessi.
In questa guida, in particolare, ci occuperemo dell'utilizzo e dell'applicazione del Teorema di Gelfond: nello specifico, andremo a vedere assieme, passo dopo passo, la sua dimostrazione.

24

Conoscere la storia

Cominciamo subito con un po' di storia, che aiuta a comprendere meglio la nascita e lo sviluppo di questo teorema. Aleksandr Gelfond nacque nei primi anni del 1900 nella Ex Unione Sovietica. È stato sicuramente uno dei matematici più importanti del suo secolo ed i suoi numerosi studi hanno aperto la strada di quelli che sarebbero stati gli anni futuri della matematica. Ha trascorso gran parte della sua vita ad insegnare matematica all'Università di Mosca. Il teorema di Gelfond-Schneider venne formulato indipendentemente da A. O. Gelford e T. Schneider nel 1934 per spiegare in parte il settimo problema di Hilbert. Esso stabilisce che se a^b è formato da un qualsiasi numero algebrico a ≠0;1 e da b irrazionale algebrico, allora è trascendente. Andiamo ora a vedere la dimostrazione.

34

Dimostrare il teorema

Per cominciare la fase dimostrativa, prendiamo in considerazione a e b algebrici (possibilmente complessi), tali che a∉{0,1}. Se b è un numero irrazionale, allora ogni valore di a^b è trascendente. Si ponga a tale che a sia un numero algebrico e a≠0, a≠1, mentre b tale che b sia un numero algebrico tale che anche a^b risulti algebrico. Troveremo il nostro risultato quando riusciremo a dimostrare che b∈Q. Per prima cosa consideriamo il caso speciale in cui a, b∈R e a>0. Ci basti sapere che ln a∈R. Osserviamo che a^(s1+bs2) è un numero algebrico per tutti i valori interi di s1 e s2. Per stabilire il nostro risultato sarà necessario dimostrare che ci sono 2 diverse coppie di interi per i quali s1+s2=s′1+bs′2 b; poiche b=(s1−s'1)/(s2−s'2) ∈Q. Stabiliamo S abbastanza grande in modo che possano esistere le coppie per cui 0≤s1, s2, s′1, s′2≤S.1 LEMMA sia a1(t),..., an (t) un polinomio non nullo in R[t] di grado rispettivamente d1,..., dn. Siano w1,..., wn coppie distinte di numeri reali. Allora: F (t): (sommatoria per j che va da 1 a n di) aj (t) e^wj t che ha al massimo d1 + ... + dn +n -1 radici reali (considerando le molteplicità).

Continua la lettura
44

Applicare il teorena

Andiamo ora a vedere il secondo lemma. Sia f (z) una funzione analitica nel disco D⊆C: D={z:|z|Per esempio, si prande S elevato: L0=⌊SlnS⌋, L1=⌊S/lnS⌋Si noti che si può considerare c=lnlnS. Si consideri (2S -1)^2 con le coppie intere S1, S2 e (s1(i), s2(i)) con |s1|LXL di M (2).
Si usi il Lemma 3 per ottenere il limite superiore B1 per il valore assoluto di Δ (o piu specificatamente, il limite superiore per ln|Δ|) (3) Si usi il lemma 4 per motivare che se Δ≠0, allora |Δ|≥B2 per qualsiasi B2>B1 (4) si concluda che Δ deve essere 0 e che, quindi, il grado di M è Gelfond-Schneider. Dalla formula di Eulero possiamo ricavare che e^i pi/2 =i
Elevando entrambi i membri per i avremo che e^pi=1/i^2i =i^-2i e quindi poiché i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, per il teorema di Gelfond è dimostrato che è trascendente. Come avrete capito, l'applicazione e la dimostrazione del teorema non sono particolarmente complesse, ma per comprenderlo e saperlo applicare occorre avere delle buone basi di matematica.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle...
Università e Master

Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem...
Università e Master

Teorema di Lindemann-Weierstrass: dimostrazione

Il Teorema di Lindemann-Weierstrass (e la relativa dimostrazione) è molto utile per stabilire la trascendenza dei numeri. Esso afferma che, se α1, ..., αn sono numeri algebrici, linearmente indipendenti su Q, ed e^α1, ..., e^αn sono algebricamente...
Università e Master

Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello...
Università e Master

Teorema della curva di Jordan: dimostrazione

Teorema ricorrente negli studi di materie universitarie come la geometria, l'analisi e la topologia di spazi euclidei è il Teorema della Curva di Jordan. Sono infatti moltissimi gli enunciati che, a partire da questo teorema, ci restituiscono soluzioni...
Università e Master

Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione

Il Teorema di Krasnoselskii è uno dei teoremi di punto fisso che sono uno dei principali strumenti dell'analisi matematica non lineare. Questi teoremi hanno una miriade di applicazioni pratiche. I suoi risultati riguardano un operatore singolo; ma le...
Università e Master

Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione

Questa guida dal titolo "Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione" si prefigge di dimostrare cos'è. Il Teorema di Eulero può essere considerato in alcuni casi la conseguenza del teorema di Lagrange, che spiegherò in modo dettagliato nei...
Università e Master

Teorema di Eulero: dimostrazione

Il Teorema di Eulero (chiamato anche Teorema di Fermat-Eulero) dimostra che se è un intero positivo e un coprimo (interi che non hanno nessun divisore a eccezione di 1 e -1, se il loro massimo comune divisore è 1) rispetto a. In questo modo φ() ≡...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.