Teorema di Gauss-Markov: dimostrazione

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
15

Introduzione

La matematica è sempre stata la materia più complicata e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono strettamente connessi tra loro, per cui è necessario comprenderli appieno onde evitare di avere problemi degli studi futuri. Nei passi della seguente guida parleremo del Teorema di Gauss-Markov, il quale afferma che, in un modello lineare in cui i disturbi incorrelati e omoschedastici sono più funzionali, gli stimatori che si ottengono con il metodo dei minimi quadrati. In particolare, in seguito esa indossato la dimostrazione di questo teorema.

25

Quando è possibile fare la dimostrazione

Come già accennato, il teorema di Gauss-Markov dice che, considerando un modello lineare in notazione matriciale y=Xβ+ε dove E[ε]=0 e E[εε']=(σ^2) I, essendo β°=[(XX')^-1]X'y uno stimatore qualsiasi ottenuto come combinazione lineare degli "y": b=Ly è tale per cui var (b)-var (β)=E (b-β)(b-β)'-E (β°-β)(β°-β)'. Quindi, il teorema può essere dimostrato prendendo in considerazione che uno stimatore lineare generico b=Ly in cui si decomponga la matrice "L" come L=D+[(XX')^-1]X'. Dunque, è necessario scrivere: E[b]=E{Dy+[(XX')^-1]X'y}=β. Tuttavia, questa dimostrazione non è sempre possibile, ma lo diventa solo se DX=0 e anche E[Lε]=E[Dε]=0. Per ottenere la matrice varianze - covarianze, bisogna scrivere: E (b-β)(b-β)'={D+[(XX')^-1]X'}εε'{D+[(XX')^-1]X'}'=(σ^2)(DD'[(XX')^-1]), perché la correttezza di "b" impone che DX=0.

35

Riconoscimento della matrice varianze - covarianze

Fondamentale è individuare la matrice varianze - covarianze degli stimatori minimi, che si riconosce nell'espressione precedente "var (β°)=(σ^2)[(XX')^-1]". Inoltre è, anche, possibile osservare che la matrice (σ^2) DD'=var (b)-var (β°), in quanto (σ^2)>0 è semidefinita positiva v'DD'v={(D'v)'(D'v)=||D'v||^2}≥0 ∀v≠0, proprio come volevasi dimostrare.

Continua la lettura
45

Determinazione della matrice

Infine, è possibile affermare che nell'algebra lineare una matrice è positiva quando una matrice quadrata ha proprietà accomunabili ai numeri reali positivi. Una matrice "M" è detta invece "semi-definita positiva" quando x*Mx≤0 ∀x in (R^n) o (C^n). "x*" indica la complessa coniugata della sua trasposta. Quando "x" è un vettore in (R^n), l'operazione coincide con la trasposizione e può essere scritta come "x^T" come sostituta di "x*". Infine, un errore che spesso si commette è quello di di confondersi con l'altro teorema di Gauss, che riguarda invece il calcolo delle aree per le coordinate assolute.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle...
Università e Master

Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem...
Università e Master

Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello...
Università e Master

Teorema della curva di Jordan: dimostrazione

Teorema ricorrente negli studi di materie universitarie come la geometria, l'analisi e la topologia di spazi euclidei è il Teorema della Curva di Jordan. Sono infatti moltissimi gli enunciati che, a partire da questo teorema, ci restituiscono soluzioni...
Università e Master

Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione

Questa guida dal titolo "Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione" si prefigge di dimostrare cos'è. Il Teorema di Eulero può essere considerato in alcuni casi la conseguenza del teorema di Lagrange, che spiegherò in modo dettagliato nei...
Università e Master

Teorema della divergenza: dimostrazione

Nel calcolo vettoriale un importante enunciato è il famoso teorema della divergenza. Conosciuto dagli studiosi delle varie Analisi Matematiche anche come il teorema di Ostrogradskij, è stato erroneamente accostato a Gauss poiché pensato dal grande...
Università e Master

Teorema di Eulero: dimostrazione

Il Teorema di Eulero (chiamato anche Teorema di Fermat-Eulero) dimostra che se è un intero positivo e un coprimo (interi che non hanno nessun divisore a eccezione di 1 e -1, se il loro massimo comune divisore è 1) rispetto a. In questo modo φ() ≡...
Università e Master

Teorema della funzione inversa: dimostrazione

In matematica, ed in particolare nel calcolo differenziale, il terorema dela funzione inversa fornisce le condizioni sufficienti per una funzione per essere invertibile in un intorno di un punto del dominio. Il teorema definisce inoltre una formula per...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.