Teorema di Gauss-Markov: dimostrazione

La matematica è sempre stata la materia più complicata e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono strettamente connessi tra loro, per cui è necessario comprenderli appieno onde evitare di avere problemi degli studi futuri. Nei passi della seguente guida parleremo del Teorema di Gauss-Markov, il quale afferma che, in un modello lineare in cui i disturbi incorrelati e omoschedastici sono più funzionali, gli stimatori che si ottengono con il metodo dei minimi quadrati. In particolare, in seguito esa indossato la dimostrazione di questo teorema.

Come già accennato, il teorema di Gauss-Markov dice che, considerando un modello lineare in notazione matriciale y=X?+? dove E[?]=0 e E[??']=(?^2) I, essendo ?°=[(XX')^-1]X'y uno stimatore qualsiasi ottenuto come combinazione lineare degli "y": b=Ly è tale per cui var (b)-var (?)=E (b-?)(b-?)'-E (?°-?)(?°-?)'. Quindi, il teorema può essere dimostrato prendendo in considerazione che uno stimatore lineare generico b=Ly in cui si decomponga la matrice "L" come L=D+[(XX')^-1]X'. Dunque, è necessario scrivere: E[b]=E{Dy+[(XX')^-1]X'y}=?. Tuttavia, questa dimostrazione non è sempre possibile, ma lo diventa solo se DX=0 e anche E[L?]=E[D?]=0. Per ottenere la matrice varianze - covarianze, bisogna scrivere: E (b-?)(b-?)'={D+[(XX')^-1]X'}??'{D+[(XX')^-1]X'}'=(?^2)(DD'[(XX')^-1]), perché la correttezza di "b" impone che DX=0.

Fondamentale è individuare la matrice varianze - covarianze degli stimatori minimi, che si riconosce nell'espressione precedente "var (?°)=(?^2)[(XX')^-1]". Inoltre è, anche, possibile osservare che la matrice (?^2) DD'=var (b)-var (?°), in quanto (?^2)>0 è semidefinita positiva v'DD'v={(D'v)'(D'v)=||D'v||^2}?0 ?v?0, proprio come volevasi dimostrare.

Infine, è possibile affermare che nell'algebra lineare una matrice è positiva quando una matrice quadrata ha proprietà accomunabili ai numeri reali positivi. Una matrice "M" è detta invece "semi-definita positiva" quando x*Mx?0 ?x in (R^n) o (C^n). "x*" indica la complessa coniugata della sua trasposta. Quando "x" è un vettore in (R^n), l'operazione coincide con la trasposizione e può essere scritta come "x^T" come sostituta di "x*". Infine, un errore che spesso si commette è quello di di confondersi con l'altro teorema di Gauss, che riguarda invece il calcolo delle aree per le coordinate assolute.

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