Teorema di Gauss-Markov: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è sempre stata la materia più complicata e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono strettamente connessi tra loro, per cui è necessario comprenderli appieno onde evitare di avere problemi degli studi futuri. Nei passi della seguente guida parleremo del Teorema di Gauss-Markov, il quale afferma che, in un modello lineare in cui i disturbi incorrelati e omoschedastici sono più funzionali, gli stimatori che si ottengono con il metodo dei minimi quadrati. In particolare, in seguito esa indossato la dimostrazione di questo teorema.

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Quando è possibile fare la dimostrazione

Come già accennato, il teorema di Gauss-Markov dice che, considerando un modello lineare in notazione matriciale y=Xβ+ε dove E[ε]=0 e E[εε']=(σ^2) I, essendo β°=[(XX')^-1]X'y uno stimatore qualsiasi ottenuto come combinazione lineare degli "y": b=Ly è tale per cui var (b)-var (β)=E (b-β)(b-β)'-E (β°-β)(β°-β)'. Quindi, il teorema può essere dimostrato prendendo in considerazione che uno stimatore lineare generico b=Ly in cui si decomponga la matrice "L" come L=D+[(XX')^-1]X'. Dunque, è necessario scrivere: E[b]=E{Dy+[(XX')^-1]X'y}=β. Tuttavia, questa dimostrazione non è sempre possibile, ma lo diventa solo se DX=0 e anche E[Lε]=E[Dε]=0. Per ottenere la matrice varianze - covarianze, bisogna scrivere: E (b-β)(b-β)'={D+[(XX')^-1]X'}εε'{D+[(XX')^-1]X'}'=(σ^2)(DD'[(XX')^-1]), perché la correttezza di "b" impone che DX=0.

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Riconoscimento della matrice varianze - covarianze

Fondamentale è individuare la matrice varianze - covarianze degli stimatori minimi, che si riconosce nell'espressione precedente "var (β°)=(σ^2)[(XX')^-1]". Inoltre è, anche, possibile osservare che la matrice (σ^2) DD'=var (b)-var (β°), in quanto (σ^2)>0 è semidefinita positiva v'DD'v={(D'v)'(D'v)=||D'v||^2}≥0 ∀v≠0, proprio come volevasi dimostrare.

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Determinazione della matrice

Infine, è possibile affermare che nell'algebra lineare una matrice è positiva quando una matrice quadrata ha proprietà accomunabili ai numeri reali positivi. Una matrice "M" è detta invece "semi-definita positiva" quando x*Mx≤0 ∀x in (R^n) o (C^n). "x*" indica la complessa coniugata della sua trasposta. Quando "x" è un vettore in (R^n), l'operazione coincide con la trasposizione e può essere scritta come "x^T" come sostituta di "x*". Infine, un errore che spesso si commette è quello di di confondersi con l'altro teorema di Gauss, che riguarda invece il calcolo delle aree per le coordinate assolute.

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