Teorema di Fubini: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nell'ambito della materia matematica si applicano tanti teoremi. Uno dei principali è il cosiddetto Teorema di Fubini che come al solito prende il nome dallo studioso matematico che lo ha inventato. Si tratta di Guido Fubini, il quale riuscì a fare in modo da fornire una valida dimostrazione del metodo utilizzato per calcolare un integrale doppio mediante integrali iterati. Nello specifico, ha fatto un modo che ci siano le condizioni pratiche per dimostrare ciò che lui sosteneva dapprima teoricamente, ovvero il fatto che fosse possibile effettuare l'inversione dell'ordine di integrazione.

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Enunciato

Per comprendere il principio del Teorema di Fubini bisogna partire da un altro teorema simile che è quello di Tonelli. Quest'ultimo è stato inventato da Leonida Tonelli ed è la derivazione del primo teorema. Ciò che differenzia il primo dal secondo teorema sono le ipotesi. Il teorema afferma che il prodotto di due spazi di misura σ-finiti, coincide con l'integrale iterato rispetto alle due misure. Dunque se l'integrale iterato ha valore finito, si può allora applicare il teorema di Tonelli e di conseguenza il valore dell'integrale è indipendente dall'ordine di integrazione. Anche dal punto di vista dell'enunciato i due teoremi sono pressoché identici, l'unica parte diversa è quella relativa ai requisiti (X, A, μ) e (Y, B, ν) che sono spazi di misura σ-finita, ed f mappe X × Y per [0, ∞). Per rendere più comprensibile il teorema di Tonelli bisogna considerare lo scambio delle sommatorie: "sommatoria estesa ad x per la sommatoria estesa ad y di axy (xy pedice di a) è uguale alla sommatoria estesa ad y per la sommatoria estesa ad x (xy pedice di a) ". Il fulcro cardine di questo teorema è l'interscambio di ordine della sommatoria vale anche se le serie divergono, per ottenere questa divergenza bisogna avere alcune parti che divergono a +∞ ed altre invece che sono divergenti a - ∞.

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Esempio

Supponiamo che A e B siano degli spazi di misura. Supponiamo che f (x, y) è A × B sia misurabile. Se l'integrale definito in A × B del valore assoluto di f (x, y) in d (x, y) è un valore finito, dove l'integrale va definito rispetto ad una misura del prodotto dello spazio su A × B.
I primi due integrali iterati sono integrali rispetto a due misure, mentre il terzo è un integrale rispetto ad un prodotto di queste due misure. Nel caso in cui l'integrale del valore assoluto non è finito, invece, i due integrali iterati possono avere valori diversi.

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Valutazione gaussiana

Applicazioni:
In pratica, il teorema di Fubini viene spesso utilizzato applicando prima teorema di Tonelli alla funzione | f |, per cui si può sempre scambiare l'ordine di integrazione, al fine di dedurre che f è integrabile, per applicare il teorema di Fubini per calcolare il valore di f.
Gaussiana:
Un'applicazione del teorema di Fubini è la valutazione della gaussiana che è la base della teoria delle probabilità:.

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