Teorema di Frisch-Waugh-Lovell: dimostrazione

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Introduzione

Il settore della statistica accoglie al suo interno una serie di discipline, ad esso confluenti, che sono legate allo studio ed alla gestione dei singoli casi. Nello specifico, uno di questi settori si occupa dello studio di quelli che sono i fenomeni economici; questa disciplina prende il nome di econometria. In questa guida andremo a vedere nello specifico uno dei principali teoremi di questa materia tanto affascinante quanto complicata, il Teorema di Frisch, Waugh e Lovell: vediamo nel dettaglio la sua dimostrazione.

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Teorema di Frisch

Nello studio e per la comprensione del Teorema di Frisch, Waugh e Lovell è importante comprendere nel dettaglio la natura del problema, questo farà sì che la conseguente comprensione del modello stesso risulti essere più semplice e logica. Partiamo dagli aspetti più generali per tentare di comprendere assieme il fulcro centrale del teorema. Il teorema prende il suo nome dagli statisti econometrici Ragnar Frish, F. Waugh, e M. Lovell.

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Lo scopo dell'econometria

Lo scopo fondamentale dell'econometria è quello di dare un contenuto di tipo empirico a quella che è la teoria economica, e sottoporla anche a verifiche statistiche. Il teorema di Frish, Waugh e Lovell afferma che il calcolo dei coefficienti di un modello di regressione lineare mediante il metodi dei minimi quadrati è uguale al calcolo mediante un sistema basato sulle matrici di proiezione. La regressione lineare in statistica è un metodo di calcolo e stima di un valore atteso che è condizionato da una variabile dipendente, oppure detta endogena, quando sono noti i valori delle altre variabili indipendenti, oppure dette esogene.

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Il metodo dei minimi quadrati

Invece il metodo dei minimi quadrati che in inglese viene detto OLS, ossia Ordinary Least Squares, è un sistema di ottimizzazione che consente di trovare una determinata funzione, detta anche curva di regressione, più vicina possibile a un insieme di dati, come ad esempio nel caso dei punti di un piano. La funzione deve minimizzare la somma dei quadrati degli intervalli tra i dati osservati e i dati della curva della funzione. Il suo uso più frequente è nell'approssimazione delle variazioni di dati sperimentali con delle linee di tendenza.

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Endogeno ed esogeno

L'utilizzo dei termini endogeno ed esogeno viene a volte criticato, perché secondo alcuni implicano il concetto di causalità che invece non è concepito dalla nozione di regressione; in alcuni particolari, può provocare confusione: infatti in econometria il concetto di esogeneità viene definito formalmente attraverso l'ipotesi di ortogonalità che sta alla base di proprietà statistiche di regressione lineare con il sistema dei minimi quadrati.

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