Teorema di Feuerbach: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nel Teorema di Feuerbach il cerchio a 9 punti caratteristici è tangente internamente a quello inscritto in un triangolo ed esternamente ai suoi cerchi escritti. La dimostrazione prevede alcuni concetti geometrici. Il cerchio inscritto in un triangolo è tangente ai tre lati ed il centro è comune ad entrambe le figure. Un cerchio escritto invece giace fuori ed è tangente ad uno dei suoi lati ed alle estensioni degli altri due.
Il centro della circonferenza interna si calcola dall'intersezione delle tre bisettrici della figura triangolare. Il centro di quella esterna, invece, è l'intersezione della bisettrice di un angolo interno e delle bisettrici esterne degli altri due. Pertanto si forma un sistema ortocentrico. Definito uno dei teoremi più temuti e più richiesto soprattutto negli esami di matematica dell'Università, niente paura in questa guida scoprirete la sua dimostrazione in maniera semplice, in maniera tale che lo possiate memorizzare in fretta. Ecco la dimostrazione del Teorema di Feuerbach.

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Occorrente

  • Conoscenza del concetto base di iscrizione in un cerchio ed escrizione
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Confrontare i diversi studi dei matematici

La dimostrazione del Teorema di Feuerbach stabilisce la tangenza del triangolo per coppie di cerchi. Pedoe e Coolidge stabiliscono la giacenza dei cerchi Cb e Cc davanti B e C. Lo studio alternativo di Coxeter e Greitzer, applica un metodo simile al cerchio inscritto e ad uno degli escritti. Più matematici hanno cercato di dare una loro interpretazione a tale teorema, anche se alla fine le dimostrazioni risultano abbastanza simili le una con le altre, spetta poi a voi scegliere la dimostrazione che vi aggradi di più e vi risulti di più semplice comprensione.

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Iniziare la dimostrazione

Per la dimostrazione del Teorema di Feuerbach, S è il punto di intersezione tra BC, CbCc ed il centro esterno di similitudine dei due escritti. A invece è il loro centro interno di similitudine. Pertanto, ACb / ACc (= rb / rc) = SCb / SCc.
Quindi A ed S dividono il segmento CbCc armonicamente. Lo stesso vale per le proiezioni di P, B', C', S dei quattro punti su BC. Quindi, PB'/ PC' = SB'/ SC'. L è il punto medio di B'C', dunque LP · LS = LB' · LC' = LB'2 = LC'2.
P e S vengono tracciati per inversione nel cerchio w di centro L e di raggio LB' (= LC'). Sia K il punto medio di AB e M quello di AC. I 9 punti significativi del cerchio di ΔABC corrispondono a ΔKLM. L'inversione nel cerchio w traccia un cerchio a 9 punti su una linea attraverso S. Esso passa per la base dell'altezza del triangolo in P.

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Invocare la proprietà di conservazione dell'angolo.

Per dimostrare il Teorema di Feuerbach, invochiamo la proprietà di conservazione dell'angolo. Sia XX' la tangente al cerchio a 9 punti ad L. Pertanto, ∠XLK = ∠KML = ∠ABC.
In poche parole, XX' è parallela alla tangente. Dall'inversione, KL viene tracciato sullo stesso. Inoltre, KL | | AC. La seconda tangente esterna ai cerchi Cb e Cc segue la regola e passa anche per S. I cerchi Cb e Cc sono ortogonali al cerchio di inversione. Per la dimostrazione del Teorema di Feuerbach, Hubert Shutrick suggerisce un'altra variante. Egli considera K perché L è infinito. L'angolo tra la tangente e KL equivale a ∠KML ed è uguale all'angolo superiore nel diagramma. KL è parallelo ad AC. Lo stesso vale per l'angolo tra K, L e la linea attraverso S. In maniera abbastanza semplice riuscirete a capire abbastanza velocemente il tutto, se seguite la guida alla lettera e vedrete che non lo temerete più !!

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Riprendere gli approcci dimostrativi di Pedoe e Coolidge, Coxeter e Greitzer e la variante di Hubert Shutrick
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