Teorema di Fermat: dimostrazione

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Introduzione

Il "Teorema di Fermat" appartiene alla categoria dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Tale teorema non va confuso con "l'ultimo teorema di Fermat", il "piccolo teorema" o il "teorema sulle somme di due quadrati". Esso fa parte dell'analisi matematica, attraverso il quale avviene la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione differenziabile. Con il teorema di Fermat si dimostra che ogni punto di estremo locale è un punto stazionario della funzione; di conseguenza, la derivata prima della funzione si annulla in quello stesso punto. Vediamo quindi una spiegazione di tale teorema con relativa dimostrazione.

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Occorrente

  • Un buon libro di testo di analisi matematica
  • Formulario di analisi matematica
  • Carta e penna
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L'enunciato del teorema di Fermat

L'enunciato del teorema è il seguente. "Sia f (x) funzione definita in un intervallo [a, b]. Se X con zero appartiene all'intervallo (a, b), esso è punto di massimo o di minimo relativo per f (x); se f (x) è derivabile in x con zero, allora f'(x0) = 0". Esistono due tipi di dimostrazione del teorema di Fermat: la dimostrazione intuitiva e la dimostrazione rigorosa. Entriamo nello specifico.

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La definizione di "punto stazionario"

Innanzitutto, occorre spiegare cos'è un "punto stazionario". In analisi matematica un punto è detto "stazionario" quando in esso la funzione è regolare ma la sua derivata ha uno zero di ordine M. Vediamo le ipotesi iniziali che consentiranno la dimostrazione. Sia f (x) funzione definita in un intervallo I (i), X con zero contenuto in I (i) è detto "punto di minimo relativo" per f (x) in I (i) se esiste delta(d) maggiore di zero tale che per ogni x contenuto nell'intervallo (X con zero meno delta, X con zero più delta) intersecato all'intervallo I (i) risulta f (x con zero) minore o uguale a f (x). Analogamente, diremo che X con zero contenuto in I (i) è "punto di massimo relativo" per f (x) in I (i) se esiste delta (d) maggiore di zero tale che per ogni x contenuto nell'intersezione di I (i) con (x con zero - delta, x con zero + delta) risulta f (x con zero) maggiore o uguale di f (x). Il seguente risultato vale in quanto ci viene fornita una condizione necessaria affinché un punto risulti di massimo o di minimo relativo.

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La dimostrazione del teorema

Vediamo ora la dimostrazione del teorema di Fermat. Sia X con zero punto di massimo relativo. Per definizione esiste delta > di zero tale che per ogni X contenuta nell'intervallo (X con zero - delta, X con zero più delta) intersecato all'insieme I (i) risulta f (x con zero) > o uguale a f (x). Poiché X con zero è contenuto nell'intervallo (a, b), con X con zero interno ad [a, b] si può scegliere delta maggiore di zero tale che l'intervallo (x con zero - delta, x con zero + delta) risulta contenuto nell'intervallo (a, b).

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Il proseguimento della diimostrazione

Proseguiamo con la dimostrazione. Se X con zero meno delta risulta minore di x che risulta minore di X con zero, allora la frazione con al numeratore la differenza tra f (x) e f (x con zero) e al denominatore la differenza tra X e X con zero sarà maggiore o al massimo uguale a 0. Di conseguenza, assumendo il "teorema della permanenza del segno", essendo f (x) derivabile in X con 0 avremo che la derivata sinistra di X con zero, ovvero f'-(x con zero), risulti uguale al limite del rapporto incrementale di f (x con zero), ovvero il limite per X che tende a X con zero della frazione con al numeratore f (x) meno f (x con zero) e al denominatore la differenza tra X e X con zero, la quale dovrà risultare maggiore o uguale a zero. Analogamente, se X con zero < X < X con zero + delta, allora il rapporto f (x) - f (x con zero)/X - X con zero risulta minore o uguale a zero. Di conseguenza, la derivata destra nel punto X con zero risulta pari al limite per x che tende a X con 0 del rapporto incrementale f (x) - f (x con zero) / x - x con zero. Dunque, poiché f'(x con zero) = f'+(x con zero) = f'- (x con zero) ne segue che f'(x con zero) = 0.

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Conclusioni

Esiste comunque un contrappunto alla dimostrazione secondo il quale, siccome dalla suddetta dimostrazione si nota che l'ipotesi di differenziabilità di f in X con zero non è indispensabile, l'enunciato si può riformulare nel modo seguente: "se X con zero è un punto estremante per f, e se esiste una derivata direzionale di f nel punto X con zero, allora questa derivata è nulla". Abbiamo terminato la nostra guida sulla dimostrazione del teorema di Fermat. Per ulteriori informazioni consultate il link: http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/derivate/400-teorema-di-fermat.html.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nel caso in cui non foste particolarmente pratici con la matematica, rivolgetevi ad una persona con più esperienza di voi o ad un professore specializzato nella materia in questione.
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