Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è da sempre la materia più complicata sia ai bambini delle elementari, sia per gli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono strettamente collegati fra di essi, per cui è importante comprenderli appieno per non avere difficoltà negli studi futuri. Nella seguente guida analizzeremo la dimostrazione del teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, che pone la soluzione di un'equazione differenziale parziale che soddisfa determinate condizioni, che consistono in dei valori nello spazio nel dominio.

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La condizione iniziale

Per il primo problema, la condizione iniziale significa che la curva integrale di equazione y = y (x) passa per il punto P0 = (x0, h0) dell'insieme A = (a, b) X R. Pertanto il teorema di esistenza ed unicità per n = 1 asserisce che, se le funzioni a1 ed f sono continue, per ogni punto di A passa una ed una sola curva integrale. Di conseguenza due curve integrali distinte non hanno alcun punto in comune; nel caso particolare dell'equazione y' = f si può dire che esse sono "parallele", dato che due primitive di f differiscono per una costante.
Per il secondo problema, non solo la curva integrale di equazione y = y (x) passa per il punto P0 = (x0, h0) appartenente ad A, ma inoltre la retta tangente in P0 ha coefficiente angolare h1. Pertanto, il teorema di esistenza ed unicità di n = 2 asserisce che per ogni punto P0 appartenente ad A esiste una sola curva integrale passante per P0.

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Riferimento all'equazione differenziale

Facciamo riferimento all'equazione differenziale:
L y = f
di ordine n, è importante ricercare una soluzione le cui derivate, da quella di ordine 0 fino a quella di ordine (n-1) assumano in un dato punto x0 valori assegnati.

Problema dei valori iniziali, o di Cauchy, per l'equazione L y = f.

Tale equazione sia di ordine n, e i dati siano definiti nell'intervallo (a, b). Assegnati un punto x0 appartenente ad (a, b) (punto iniziale) ed n numeri reali h0, ..., hn-1 (n-1 pedice) che rappresentano i valori iniziali, ricercare un integrale y (x) dell'equazione differenziale che verifichi le n relazioni (sistema di condizioni iniziali):

y (x0) = h0, y'(x0) = h1 , ..., y^(n-1) = hn-1 (x0, n-1).

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Teorema di esistenza e unicità

Se i dati dell'equazione Ly = f sono funzioni continue, il relativo problema di Cauchy, con qualunque sistema di condizioni iniziali, ammette una ed una sola soluzione.
Per le equazioni del primo e del secondo ordine i problemi di Cauchy sono rispettivamente:

1) y' + a1 y = f; y (x0) = h0
2) y'' + a1 y' + a2 y = f; y (x0) = ho, y'(x0) = h1

ed il teorema enunciato è suscettibile di interpretazione geometrica.

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