Teorema di esistenza del limite di successioni monotone: dimostrazione

Il teorema dell'esistenza del limite di successioni monotone è un noto teorema dell’analisi matematica, il quale afferma che ogni successione monotona possiede un limite. Nella guida che segue vi sarà spiegato cos'è una successione, quali tipi di successione possiamo avere e qual è la dimostrazione del teorema. Innanzitutto una successione reale è, come possiamo intuire, una sequenza infinita di numeri reali, che è ordinata da numeri naturali: alla prima posizione è associato un numero reale, alla seconda un altro numero reale, non per forza diverso dal primo, e così via.

Una successione si definisce regolare se ammette un limite finito o meno; è invece irregolare quando non ammette nessun limite e quindi in generale non abbiamo assicurato l'esistenza di un limite. Però esiste una particolare classe di successioni in cui esiste il limite con assoluta certezza, questa è la classe delle successioni monotone. Una successione monotona mostra una precisa regolarità: con l'aumentare del suo indice n, la fine della successione a (n) assume un valore più alto dei valori precedenti. Una successione a (n) si definisce monotona crescente se a (n) è minore o uguale ad a (n+1); si definisce strettamente crescente se è solo minore.

Una successione a (n) si definisce monotona decrescente se a (n) è maggiore o uguale ad a (n+1); si definisce strettamente decrescente se è solo maggiore. Il teorema sostiene quindi che se a (n) è una successione monotona reale, allora esiste un limite lim a (n). In particolare è possibile affermare che se la successione a (n) è una successione crescente allora si avrà lim a (n) = sup a (n); se invece la successione a (n) è una successione decrescente allora si avrà lim a (n) = sup a (n).

Ora proviamo a dimostrare la tesi soltanto nel caso della successione a (n), che è decrescente: se il limite "l" è l'estremo inferiore di una successione a (n) e poniamo il caso nel quale "l" è un limite finito, per la definizione dell’estremo inferiore, possiamo affermare che il limite "l" è ≤ a (n). Una conseguenza di questo teorema è che una successione monotona si dice convergente solamente se è limitata. Infatti, se questa è monotona. Significa che sia l'estremo inferiore che superiore esistono e sono finiti. In base al teorema, il limite coincide con l’estremo superiore se la successione è crescente, mentre coincide con l’estremo inferiore se la successione è decrescente. Di conseguenza in questo caso si dice che la successione converge.

• In base al teorema, il limite coincide con l’estremo superiore se la successione è crescente, mentre coincide con l’estremo inferiore se la successione è decrescente.

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