Teorema di Egorov: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia molto importante ma allo stesso tempo anche una delle più difficili da studiare. Sono tantissimi gli argomenti trattati da questa disciplina e molti di questi sono di notevole difficoltà, per questo motivo se siamo degli amanti di questa materia per riuscire a studiarla in maniera più semplice potremo ricercare maggiori informazioni. Su internet, grazie alle moltissime guide presenti, che trattano i vari argomenti di matematica, potremo facilmente reperire tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno, che ci consentiranno di studiare molto più facilmente tutti i vari argomenti di matematica. Nei passi successivi, in particolare, vedremo la dimostrazione di un particolarissimo teorema: il Teorema di Egorov.

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Occorrente

  • Leggere con attenzione la guida.
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Informazioni generali

Il teorema di Egorov venne dimostrato indipendentemente agli inizi del Novecento e, precisamente, nel 1910 dal matematico italiano Carlo Severini, un anno prima rispetto allo studioso russo da cui prese il nome la struttura algebrica: Dmitri Fyodorovich Egorov infatti, con il suo significativo contributo all'analisi matematica e alla geometria differenziale, pensò nel 1911 all'esplicazione delle proprietà delle sequenze di funzioni ortogonali.

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Dimostrazione del teorema

Sia dato X, A, µ come spazio di misura in cui µ è completa e finita quindi µ (X) <+∞; siano fn ∈ M così che fn → f q. O; avremo indubbiamente ∀ε > 0 ∃Xε ∈ A per cui l'asserzione che µ (X − Xε) < ε e conseguentemente fn |Xε→ f |Xε oltre che uniformemente in Xε dimostrando che essendo f misurabile otteremo un complesso Xp n = ∩i≥n{x ∈ X | |fi (x) − f (x)| < 1/p}, Xp = ∪ ∞ n=1Xp n... ⊇ Xp n ⊇... Xp 2 ⊇ X p 1. Il teorema di Egorov è collocabile nell'ambito studioso inerente la teoria della misura. Esso determina una condizione che viene stabilita relativamente all'uniformità della convergenza di una sequenza di funzioni misurabili. Queste devono risultare puntualmente convergenti. Il suo enunciato è circoscritto all'interno di un dato spazio metrico separabile detto M, d. Successivamente viene fornita una successione di funzioni fn di valore M aventi sede all'interno di uno spazio X, Σ, μ e un sottospazio A di X di misurazione. Le funzioni convergono ovunque in f con il risutato di ε > 0 e di un sottospazio B di A. Si assumerà quindi che μ(B) < ε e che fn converge su A\B.

Continua la lettura
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Conclusioni finali

Il suddetto insieme è completamente misurabile ed in continuità µ (Xp) = limn µ (Xp n). Essendo dunque µ (Xp) ≤ µ (X) < +∞∀ε > 0 ∃ν µ (Xp − Xpν) < ε/2 p. Si arriva quindi alla definizione per cui la successione di funzioni fn converge in misura a f soltanto e se ∀α > 0 limn µ ({x ∈ X | |fn (x) − f (x)| ≥ α}) = 0. In condizioni eventuali di probabilità fn converge in f, se finita è puntuale q. O. Pur ammettendo una sottosuccessione. A questo punto, per riuscire a comprendere più facilmente la dimostrazione del Teorema di Egorov, non dovremo fare altro che leggere attentamente tutte le indicazioni riportate nei passi precedenti.

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