Teorema di Dirichlet: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
18

Introduzione

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fu un matematico tedesco. Nacque a Duren, dove il padre lavorava come direttore all'Ufficio Postale. Il giovane Dirichlet studiò in Germania e in Francia, dove ebbe modo di conoscere molti dei più celebri matematici di quel tempo. Sposò Rebecca Mendelssohn, nipote del filosofo Moses Mendelssohn nonché sorella del compositore Felix Mendelssohn. Alla morte del matematico, molti dei suoi scritti e appunti sulla teoria dei numeri vennero raccolti, curati e pubblicati dal matematico Richard Dedekind in un volume denominato "Lezioni sulla teoria dei numeri". Dirichlet svolse per conto suo ricerche approfondite sulla teoria dei numeri, ottenendo risultati importanti in particolar modo attraverso l'applicazione di procedimenti infinitesimali allo studio di questioni aritmetiche. Studiò anche l'integrazione e lo sviluppo di una funzione in serie trigonometrica, nonché alcuni problemi riguardanti la fisica-matematica. Vediamo quindi una dimostrazione del Teorema di Dirichlet.

28

Occorrente

  • Un buon libro di testo di analisi matematica
  • Formulario di analisi matematica
  • Carta e penna
38

L'enunciato del teorema di Dirichlet

Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet afferma che "dati due numeri interi coprimi 'a' e 'b', esistono infiniti numeri primi; in altre parole, ogni progressione aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi". Tale teorema rappresenta un ampliamento di quanto affermato da Euclide circa 2000 anni prima di Dirichlet stesso. In altre parole, vi sono infiniti numeri primi congruenti ad un determinato modulo "d". I numeri della forma "a+nd" formano una progressione aritmetica (a, a+d, a+2d, a+3d, e così via). Nella conclusione del teorema si afferma che "per qualsiasi progressione aritmetica, la somma dei reciproci numeri primi nella successione divergente e diverse progressioni aritmetiche con lo stesso modulo, hanno approssimativamente le stesse proporzioni di numeri primi". Equivalentemente, i numeri primi sono distribuiti uniformemente ("asintoticamente") in ciascuna classe di congruenza del modulo "d".

48

Un esempio pratico del teorema

Vediamo un esempio pratico. Un numero intero è un numero primo per gli interi gaussiani se è un numero primo congruente a 3 modulo 4. I numeri primi del tipo 4n+3 sono 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, e così via. Essi corrispondono ai seguenti valori di "n": 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, e così via. La forma forte del teorema di Dirichlet implica che
1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + 1/31 + 1/43 + 1/47 + 1/59 + 1/67 + (...) è una serie divergente.
Dal momento che, in media, i numeri primi si espandono in accordo con il teorema dei numeri primi, lo stesso deve valere per i numeri primi in progressione aritmetica. Ma in che modo i numeri primi sono condivisi tra le varie progressioni aritmetiche per un dato valore di "d", tenendo conto del fatto che questi valori, se non si distinguono tra due progressioni, condividono quasi tutti i loro termini? La risposta è la seguente: il numero di progressioni possibili del modulo "d" - quelli in cui "a" e "d" non hanno un fattore comune > 1 - "phi" della funzione totiente di Eulero.

Continua la lettura
58

La storia del teorema di Dirichlet

A livello storico, Eulero affermò che ogni progressione aritmetica che iniziasse con 1 contenesse un numero infinito di numeri primi. Il teorema visto nella forma enunciata in precedenza venne dapprima analizzato da Legendre a proposito dei suoi studi sulla reciprocità quadratica, il tutto senza trovare una conclusione; infine, venne dimostrato proprio da Dirichlet nel 1837 mediante la propria "L-serie". La dimostrazione venne strutturata sul precedente lavoro di Eulero relativa alla "funzione zeta" di Riemann per la distribuzione dei numeri primi. Il teorema in questione rappresentò l'inizio di una rigorosa teoria analitica dei numeri. Infine, la dimostrabilità con metodo elementare viene attribuita a Atle Selberg, grazie ai suoi studi esposti al pubblico nel 1946.

68

La prova effettiva del teorema di Dirichlet

Il teorema di Dirichlet è stato effettivamente provato, a dimostrazione di come il valore della "funzione L di Dirichlet ad 1" è diversa da zero. La prova di tale affermazione richiede una serie di calcoli nonché la "teoria analitica dei numeri". Vi è però un caso particolare in cui a = 1. Qui il teorema riguarda i numeri primi congruenti ad 1 modulo di "n", e può essere dimostrato con l'analisi del comportamento in scissione dei numeri primi nelle "estensioni ciclotomiche", senza fare alcun uso dei calcoli. La definizione di questo caso particolare va attribuita agli studi di Neukirch, pubblicati nel 1999. Abbiamo terminato la nostra guida sul teorema di Dirichlet. Per ulteriori informazioni consultate il link: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Dirichlet.

78

Guarda il video

88

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nel caso in cui non foste particolarmente pratici con la matematica, rivolgetevi ad una persona con più esperienza di voi o ad un professore specializzato nella materia in questione.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Eulero: dimostrazione

Il Teorema di Eulero (chiamato anche Teorema di Fermat-Eulero) dimostra che se è un intero positivo e un coprimo (interi che non hanno nessun divisore a eccezione di 1 e -1, se il loro massimo comune divisore è 1) rispetto a. In questo modo φ() ≡...
Università e Master

Teorema di indefinibilità di Tarski: dimostrazione

Il teorema di Tarski sull'indefinibilità della verità dell'aritmetica è strettamente legato ai teoremi di Godel ed ai suoi studi: per questo partiremo dalla sua "matematica" per poi arrivare alle dimostrazioni di Tarski. La dimostrazione del teorema...
Università e Master

Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem...
Superiori

Teorema fondamentale dell'aritmetica: dimostrazione

La matematica, e quindi anche l'aritmetica che di essa fa parte, è considerata da molte persone una materia difficile. Altre invece ritengono questa disciplina meravigliosa riuscendo quasi a creare un legame con i numeri. "Ogni numero naturale maggiore...
Università e Master

Teorema di Desargues: dimostrazione

Come avrete già potuto comprendere leggendovi il titolo che accompagna la nostra guida, ora ci concentreremo su un tema davvero importante. La materia che tratteremo sarà la geometria analitica, in quanto proveremo, nei prossimi tre passi, a spiegare...
Università e Master

Teorema di Lebesgue: dimostrazione

Il Teorema di Lebesgue, conosciuto anche come teorema di Vitali-Lebesgue, nel campo dell'analisi matematica è una proposizione che determina l'equivalenza tra una funzione e la derivata del suo integrale, ovvero un operatore che associa alla funzione...
Superiori

Teorema di Rolle: dimostrazione

Il matematico francese href="https://it. Wikiped">Michel Rolle formulò uno dei più rilevanti teoremi della matematica e, per riuscirlo a comprendere bene, sarà necessario supporre anche la conoscenza del Teorema di Weierstrass e del Teorema di Fermat....
Superiori

Teorema di Abel-Ruffini: dimostrazione

Il teorema di Abel-Ruffini, da non confondere con la "Regola di Ruffini" viene ritenuto utile per la scomposizione dei polinomi. Inoltre viene considerato il contributo più importante dato dal Ruffini alla matematica. Il teorema di Abel-Ruffini vine...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.