Teorema di Dirichlet: dimostrazione

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Introduzione

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fu un matematico tedesco. Nacque a Duren, dove il padre lavorava come direttore all'Ufficio Postale. Il giovane Dirichlet studiò in Germania e in Francia, dove ebbe modo di conoscere molti dei più celebri matematici di quel tempo. Sposò Rebecca Mendelssohn, nipote del filosofo Moses Mendelssohn nonché sorella del compositore Felix Mendelssohn. Alla morte del matematico, molti dei suoi scritti e appunti sulla teoria dei numeri vennero raccolti, curati e pubblicati dal matematico Richard Dedekind in un volume denominato "Lezioni sulla teoria dei numeri". Dirichlet svolse per conto suo ricerche approfondite sulla teoria dei numeri, ottenendo risultati importanti in particolar modo attraverso l'applicazione di procedimenti infinitesimali allo studio di questioni aritmetiche. Studiò anche l'integrazione e lo sviluppo di una funzione in serie trigonometrica, nonché alcuni problemi riguardanti la fisica-matematica. Vediamo quindi una dimostrazione del Teorema di Dirichlet.

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Occorrente

  • Un buon libro di testo di analisi matematica
  • Formulario di analisi matematica
  • Carta e penna
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L'enunciato del teorema di Dirichlet

Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet afferma che "dati due numeri interi coprimi 'a' e 'b', esistono infiniti numeri primi; in altre parole, ogni progressione aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi". Tale teorema rappresenta un ampliamento di quanto affermato da Euclide circa 2000 anni prima di Dirichlet stesso. In altre parole, vi sono infiniti numeri primi congruenti ad un determinato modulo "d". I numeri della forma "a+nd" formano una progressione aritmetica (a, a+d, a+2d, a+3d, e così via). Nella conclusione del teorema si afferma che "per qualsiasi progressione aritmetica, la somma dei reciproci numeri primi nella successione divergente e diverse progressioni aritmetiche con lo stesso modulo, hanno approssimativamente le stesse proporzioni di numeri primi". Equivalentemente, i numeri primi sono distribuiti uniformemente ("asintoticamente") in ciascuna classe di congruenza del modulo "d".

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Un esempio pratico del teorema

Vediamo un esempio pratico. Un numero intero è un numero primo per gli interi gaussiani se è un numero primo congruente a 3 modulo 4. I numeri primi del tipo 4n+3 sono 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, e così via. Essi corrispondono ai seguenti valori di "n": 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, e così via. La forma forte del teorema di Dirichlet implica che
1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + 1/31 + 1/43 + 1/47 + 1/59 + 1/67 + (...) è una serie divergente.
Dal momento che, in media, i numeri primi si espandono in accordo con il teorema dei numeri primi, lo stesso deve valere per i numeri primi in progressione aritmetica. Ma in che modo i numeri primi sono condivisi tra le varie progressioni aritmetiche per un dato valore di "d", tenendo conto del fatto che questi valori, se non si distinguono tra due progressioni, condividono quasi tutti i loro termini? La risposta è la seguente: il numero di progressioni possibili del modulo "d" - quelli in cui "a" e "d" non hanno un fattore comune > 1 - "phi" della funzione totiente di Eulero.

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La storia del teorema di Dirichlet

A livello storico, Eulero affermò che ogni progressione aritmetica che iniziasse con 1 contenesse un numero infinito di numeri primi. Il teorema visto nella forma enunciata in precedenza venne dapprima analizzato da Legendre a proposito dei suoi studi sulla reciprocità quadratica, il tutto senza trovare una conclusione; infine, venne dimostrato proprio da Dirichlet nel 1837 mediante la propria "L-serie". La dimostrazione venne strutturata sul precedente lavoro di Eulero relativa alla "funzione zeta" di Riemann per la distribuzione dei numeri primi. Il teorema in questione rappresentò l'inizio di una rigorosa teoria analitica dei numeri. Infine, la dimostrabilità con metodo elementare viene attribuita a Atle Selberg, grazie ai suoi studi esposti al pubblico nel 1946.

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La prova effettiva del teorema di Dirichlet

Il teorema di Dirichlet è stato effettivamente provato, a dimostrazione di come il valore della "funzione L di Dirichlet ad 1" è diversa da zero. La prova di tale affermazione richiede una serie di calcoli nonché la "teoria analitica dei numeri". Vi è però un caso particolare in cui a = 1. Qui il teorema riguarda i numeri primi congruenti ad 1 modulo di "n", e può essere dimostrato con l'analisi del comportamento in scissione dei numeri primi nelle "estensioni ciclotomiche", senza fare alcun uso dei calcoli. La definizione di questo caso particolare va attribuita agli studi di Neukirch, pubblicati nel 1999. Abbiamo terminato la nostra guida sul teorema di Dirichlet. Per ulteriori informazioni consultate il link: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Dirichlet.

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Consigli

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  • Nel caso in cui non foste particolarmente pratici con la matematica, rivolgetevi ad una persona con più esperienza di voi o ad un professore specializzato nella materia in questione.
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