Teorema di diagonalizzabilità: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema di diagonalizzabilità è un pilastro dell'algebra lineare che ci aiuta a dare spiegazioni di tipo pratico in altri campi dello studio moderno come la meccanica strutturale o semplicemente a chiarirci come un comportamento fisico, descritto sotto forma di matrice, possa darci come risultati valori appartenenti al campo di applicazione che stiamo studiando, e quindi che il comportamento non è valido in altri spazi vettoriali. Illustriamo la dimostrazione.

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Enunciato

Enunciato:

Preso un endomorfismo lineare T appartenente allo spazio vettoriale V e con risultati sempre in V, con base B in V e una matrice A associata all'endomorfismo T rispetto a B, il polinomio caratteristico della matrice Pt (d), è pari al determinante della matrice meno il prodotto scalare tra matrice identità In, e lo scalare d: Pt (d) = det (A-dIn). Se tutti gli autovalori sono nel campo e sono distinti (ovvero diversi tra loro), oppure se non sono distinti ma per ogni autovalore molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono, allora la matrice è diagonalizzabile.

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Spiegazione dell'enunciato e della dimostrazione

Spiegazione dell'enunciato e della dimostrazione:

È importante prima di tutto capire cos'è un endomorfismo, un'applicazione lineare che ha lo stesso spazio di appartenenza sia per il dominio che per il codominio. Questo vuol dire che se T parte dallo spazio V, tornerà col codominio in V. Vi è poi da comprendere il significato di polinomio caratteristico di una matrice: un polinomio costituito dalle potenze dello scalare d, risultato del determinante della matrice, a cui fa riferimento, meno d volte il valore della matrice identità (Pt (d)=det (a-dIn)). Questo polinomio, se posto pari a zero, ci consente di trovare i possibili valori di d, detti autovalori della matrice, utili a fornire gli autovettori dello spazio della matrice. Se gli autovalori sono tutti diversi, per il teorema, la matrice sarà diagonalizzabile mentre se non sarà cosi avremo bisogno di conoscere due nuovi concetti, le molteplicità algebriche e geometriche.

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Dimostrazione 1 - Valori distinti

Dimostrazione 1 - Valori distinti:

Se prendo l'insieme degli autovalori {d (1),..., d (n)}, chiamato spettro di T (SpecT), so che l'insieme dei diversi vettori v (i) negli spazi V (i) che non contengono il vettore nullo 0 (quindi i valori: v (1) appartenente a V (1)/0,..., v (n) appartenente a V (n)/0) sono autovettori e, dato che gli autovettori sono tra loro linearmente indipendenti, non possono che essere il "numero giusto" di vettori generatori della base di V. Questo ci porta a dire che T ha colonne linearmente indipendenti tra loro e quindi T è completamente diagonalizzabile.

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