Teorema di Desargues: dimostrazione

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Difficoltà: media
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Introduzione

Come avrete già potuto comprendere leggendovi il titolo che accompagna la nostra guida, ora ci concentreremo su un tema davvero importante. La materia che tratteremo sarà la geometria analitica, in quanto proveremo, nei prossimi tre passi, a spiegare in maniera molto semplice e sintetica a fare la dimostrazione di un teorema: il Teorema di Desargues.
Cominciamo ad analizzare questa importante tematica.
Il Teorema di Desargues, che viene chiamato anche la teoria dei triangoli omogenei, deve il suo nome al matematico di nazionalità francese Girard Desargues. Egli, dimostrò questo teorema di geometria proiettiva durante in diciassettesimo secolo.
Purtroppo i suoi studi per anni non sono stati analizzati e supportati nel modo giusto a causa anche dei successi della geometria analitica, la sua opera infatti sarà riscoperta solo nell'Ottocento. Il teorema di Desargues afferma con la sua dimostrazione, che se in due triangoli ABC e A'B'C', i vertici omologhi concorrono in un solo punto detto O anche le rette dei lati omologhi si incontreranno in punti allineati o viceversa. In pratica se due triangoli sono in prospettiva rispetto ad un punto, lo sono anche rispetto ad un retta.

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Occorrente

  • Buon manuale di geometria proiettiva.
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La comprensione del teorema di Desargues

Per poter riuscire a comprendere nella maniera giusta il teorema di Girard Desargues è fondamentale riuscire a imparare che due triangoli risultano in prospettiva rispetto ad un punto quando le rette che collegano i punti sono concorrenti.
Questo teorema venne riscoperto solo successivamente, nell'ottocento, dopo un lungo periodo di anonimato, grazie al matematico Hilbert. Quest'ultimo, all'interno di una sua opera formulò delle considerazioni circa il teorema, creando una serie di assiomi che genera una geometria nella quale non c'è spazio per la teoria del matematico francese, che però nel corso del novecento verrà presa in considerazioni e susciterà notevole interesse.

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La prospettiva dei due triangoli

Sottolineiamo il fatto che nel caso in cui 2 triangoli fossero posti in prospettiva rispetto a un punto e avessero i lati che s'intersecassero tra di loro significherebbe che i tre punto K, H e S sarebbero allineati. Il teorema di Desargues possiede una reciprocità, infatti dalla dimostrazione della teoria si evince anche che se due triangoli si trovano in prospettiva con un'altra retta e se ogni coppia di vertici corrispondente è unita attraverso l'intersezione di rette, allora i triangoli risultano essere in prospettiva rispetto al punto in cui le tre rette si incontrano.

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La dimostrazione

La dimostrazione che solitamente si prende in considerazione e che è anche la più comune viene svolta in tre dimensioni. Ciò si spiega grazie all'utilizzo della geometria proiettiva che è applicabile anche in questo caso. Se si prendono in considerazione due triangoli bisogna dire che ognuno dei triangoli appartiene al proprio piano poi chiamiamo r la retta che si ottiene dall'intersezione dei due piani. Una volta arrivati fino a questo punto della dimostrazione, si prosegue nominando i punti relativi all'intersezione come H, S e K fra i due vertici in prospettiva sempre valutando questa secondo un punto denominato P. Questo stesso punto P, a sua volta, è in prospettiva ai due triangoli dati. In questo modo, si riesce a dimostrare che i tre punti H, S e K siano appartenenti alla medesima retta, denominata r e che essi facciano parte di entrambi i piani, trovandosi, in questo modo, nella loro intersezione.
Eccovi un approfondimento tematico: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Desargues.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Tenere ben presente i tre punti di intersezione.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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