Teorema di De L'Hopital: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Spesso quando si studiano funzioni, o comunque in tanti altri casi, a seconda delle esigenze di studio occorre sapere come si possono calcolare i limiti. Talvolta tale calcolo risulta difficoltoso e questo nella maggior parte dei casi è dovuto al fatto che non si ha ben chiaro il procedimento o non si possiedono le nozioni di base delle funzioni. A questo proposito, attraverso i passaggi che seguono andremo a vedere quella che è la dimostrazione del Teorema di De L'Hopital. Scoprirete così che si tratta di un ottimo aiuto nella risoluzione di alcune forme indeterminate attraverso l'uso delle derivate.

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L'enunciato del teorema

Cominciamo subito col dire che il teorema afferma che, prese due funzioni f e g definite da R in R ampliati (inclusi i valori + e - infinito), continue e derivabili in un intervallo (a; b) con a e b valori qualunque, sia finiti che infiniti, si può supporre che g'(x) non sia nulla in tale intervallo, che il limite per x che tende ad a da destra del rapporto fra le derivate di f e g esista in R ampliato. Se il limite di f/g per x che tende ad a da destra si presenta nella forma zero su zero o infinito su infinito, allora si può affermare che tale limite esiste ed equivale al limite per x che tende ad a da destra del rapporto tra le derivate di f e g. Ovviamente tutto questo vale anche se x tende a b da sinistra.

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Il teorema di Cauchy

Nel caso in cui x appartenesse all'intorno destro di c è possibile applicare Cauchy o il teorema del valore medio sull'intervallo da c ad x. Per il secondo teorema in tale intervallo g (x) non deve essere presente lo zero. Il teorema di Cauchy invece permette di affermare che esiste un punto t in (c; x) tale che f (x)/g (x) = f'(t)/g'(t). Nel caso in cui però x tendesse a c, allora anche t tenderebbe a c e quindi il limite per x che tenderebbe a c di f (x)/g (x) = limite di f'(t)/g'(t) = limite di f'(x)/g'(x), come volevasi dimostrare. In questa sede si preferisce omettere la dimostrazione del caso della forma infinito su infinito, in quanto risulta essere parecchio complessa da trattare in pochi passi; si consiglia comunque di studiare e approfondire l'argomento da un libro di matematica.

Continua la lettura
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La dimostrazione del teorema

Come avrete capito, l'enunciato del teorema è piuttosto chiaro e fornisce un valido strumento di calcolo per tutti i limiti complessi, ovviamente solo se si sa come usarlo nel modo migliore: infatti nel caso in cui ricorrendo ai limiti notevoli, ai trucchi algebrici e a tutti gli altri metodi possibili non si semplificasse il calcolo, allora basterà semplicemente calcolare le due derivate e valutare il limite del loro rapporto, dopo aver opportunamente verificato che le ipotesi del teorema siano rispettate. La dimostrazione, nel caso della forma zero su zero, consiste nel partire da due funzioni f e g, che per x che tende ad un valore c, vanno a zero. Dato che esiste il limite per x che tende a c del rapporto f'/g', esisterà anche un intervallo di centro c tale che per ogni x in tale intervallo f'(x) e g'(x) esistono e g' non è nulla.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Approfondire tramite un libro di matematica

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