Teorema di de Branges: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

L'analisi matematica è una materia piuttosto contorna. Prende in considerazione delle regole della matematica classica e le applica a concetti più astratti per ottenere elementi ancor più complessi. Per chi studia ingegneria avrà sicuramente molta più familiarità con argomenti come funzioni, integrali o numeri complessi. L'argomento che andremo a trattare oggi è il Teorema di De Branges. Conosciuto anche come congettura di Bieberbach, il teorema unisce le definizioni di funzioni e coefficienti di Taylor per dimostrare un argomento preponderante dell'analisi complessa. La dimostrazione fu talmente articolata da dover essere ridotta utilizzando regole degli integrali. Ma vediamo nel dettaglio come funziona.

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Definizione del teorema

La dimostrazione si basa sull'affermazione che il valore rappresentativo denominato con la lettera alfabetica f venga ricondotto alla funzione di una variabile complessa, fornita attorno alla sua origine, dallo sviluppo strettamente analitico di f (z)= a1z sommata ad a2z2 e ad a3z3 e ancora all'infinito con a1 diverso da 0. L'evoluzione degli studi ha fatto si che come il primo nome della teoria cambiassero anche le definizioni degli spazi e delle funzioni, a cui venne messa l'etichetta di appartenenti a de Branges. Se tale congettura possa sostenersi mappata in maniera uniforme e iniettiva all'interno di un cosiddetto disco unitario, allora si potrà scrivere (an) disappunto di De Branges che non amava la semplificazione, in quanto considerata difettosa per la sostanza.
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Dimostrazione del teorema

La dimostrazione si avvale per la sua esplicazione della tipologia spaziale di Hilbert studiata appositamente per le funzioni integrali. L'evoluzione degli studi ha fatto si che come il primo nome della teoria cambiassero anche le definizioni degli spazi e delle funzioni, a cui venne messa l'etichetta di appartenenti a de Branges.

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Origine del teorema

Strettamente connesso al campo dell'analisi complessa, il teorema prende il nome dal matematico americano che, successivamente, naturalizzò la sua cittadinanza in quella francese, avvalendosi delle origini dei propri genitori. Stiamo parlando di Louis de Branges de Bourcia, conosciuto per aver risolto, nel 1984, la congettura di Bieberbach, ovvero il nominativo originale di questo stesso teorema, enunciato nel 1916 dal matematico teutonico Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach. Lo studioso tentò inoltre di dimostrare anche l'Ipotesi di Riemann, famosa ed affascinante congettura numerica.

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