Teorema di Darboux: dimostrazione

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Introduzione

La matematica è una materia molto complessa e molto spesso può capitare di non riuscire a comprendere perfettamente un argomento. In questi casi potremo o chiedere aiuto a qualcuno in grado di spiegarci i vari passaggio oppure potremo cercare su internet fra le moltissime guide esistenti. Nei passi successivi, in particolare, cercheremo di spiegare nella maniera più semplice e chiara possibile il Teorema di Darboux con la relativa dimostrazione. Jean Gaston Darboux è stato un grande matematico francese il cui più importante lavoro e il teorema che porta il suo nome. Vediamo insieme come procedere.

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Definizione

Esso asserisce che tutte quelle funzioni che si presentano come derivate di altre funzioni posseggono la proprietà del valore intermedio, ovvero, detto in altre parole, la proprietà per cui se il Dominio è un intervallo, lo sarà anche il Codominio (l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo). Questa affermazione può sembrare una ovvietà per una funzione continua e differenziabile, derivata prima di un'altra funzione, per il teorema dei valori intermedi. Ma invece si dimostra che anche nel caso in cui la derivata prima non sia continua, il teorema di Darboux garantisce piccolissime variazioni per tale funzione e quindi garantisce che se il dominio è un intervallo lo sarà anche il codominio.

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Dimostrazione

Formalizzando, quindi, si ha che, data una funzione f (x) definita in [a; b] con valori in R, continua in [a; b] e differenziabile in (a; b), allora per la sua derivata è vero che preso un c qualunque tra f'(a) ed f'(b), ci sarà sicuramente almeno una x nel Dominio tale che f'(x) equivale a c. Per dimostrare tutto ciò, si supponga che c sia compreso tra i valori della derivata sinistra f' in b e quella destra f' in a. Se si pone g (x) = f (x) - cx, allora g'(x) sarà f'(x) - c e tornando alla supposizione iniziale e sostituendo si ha che zero è compreso tra la derivata sinistra g' in b e la derivata destra g' in a.

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Fase conclusiva

Dal momento che g è una funzione continua nell'intervallo [a; b], sicuramente possiede un massimo in tale intervallo (per il teorema di Weirstrass) che però non coincide con g (a), dato che g' destra in a è positiva e quindi g risulta crescente in a, ma questo massimo non sarà neanche in b, dato che g'(b) sinistra era negativa e ciò significa che g in b è decrescente. Perciò il massimo si troverà in un punto t compreso tra a e b, tale che g'(t) sia zero. Come volevasi dimostrare: presa una y qualunque di una funzione derivata, ci sarà una x tale che f (x)=y.

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