Teorema di completezza di Gödel: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema di completezza di Gödel è un teorema fondamentale nella logica matematica che stabilisce una corrispondenza tra verità semantica e dimostrabilità sintattica nella logica del primo ordine. Definisce inoltre uno stretto legame tra la teoria dei modelli che si occupano di ciò che è vero, chiamata teoria della dimostrabilità.

La sua dimostrazione è dovuta href="https://it. Wikipedia. Org/wiki/Kurt_G%C3%B6del">Kurt Gödel nel 1929. Fu poi semplificato nel 1947 da Leon Henkin, che affermò che la parte più difficile della dimostrabilità può essere inglobata. Inglobata come teorema di esistenza del modello (pubblicato nel 1949). Ulteriori modifiche vennero poi apportate da Gisbert Hasenjaeger nel 1953.

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Occorrente

  • Internet
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I sistemi di deduzione

Ci sono numerosi sistemi deduttivi per la logica del primo ordine, compresi i sistemi di deduzione naturale e i sistemi di tipo Hilbert. È comune, a tutti tali sistemi, la nozione di una deduzione formale. Questa è una sequenza (o, in alcuni casi, un albero finito) di formule con una conclusione appositamente definita. La definizione di una deduzione è tale che è possibile verificarla algoritmicamente (da un computer, per esempio, o a mano).
Una formula del primo ordine viene definita logicamente valida se è vera per tutta la struttura della formula. Per affermare e dimostrare il teorema di completezza, è necessario definire anche un sistema deduttivo.

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La formulazione di Godel

Il teorema di completezza dice che se una formula è logicamente valida allora c'è una deduzione finita (una prova formale) della formula.
Gödel afferma che un sistema deduttivo di primo ordine è "completo", nel senso che nessuna regola d'inferenza aggiuntiva è necessaria per dimostrare la validità della formulazione logica. Abbiamo detto che l'opposto della completezza è la solidità, ovvero che solo le formule logicamente valide sono dimostrabili nel sistema deduttivo. Insieme alla solidità (la cui verifica è piuttosto facile), questo teorema implica che una formula è logicamente valida se e solo se essa rappresenta la conclusione di una deduzione formale.

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Teorema di esistenza del modello

La versione più semplice di questo teorema, sufficiente in pratica per la maggior parte delle applicazioni e che ha collegamenti con il teorema Löwenheim-Skolem. Afferma che ogni teoria del primo ordine numerabile è un modello che viene definito risolto.
Mentre una versione più generale dell'assioma può essere espressa come ogni teoria del primo ordine con un linguaggio ordinato è un modello. Possiamo trovare argomenti sulla dimostrazione di Godel nei vari siti dedicati.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consultate i vari siti dedicati a Godel per approfondire l'argomento
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