Teorema di Buckingham: dimostrazione

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Introduzione

Il Teorema di Buckingham, detto anche teorema pi greco, è uno dei capitoli centrali della fisica. Il problema centrale della questione è trovare una relazione che leghi una grandezza fisica di una determinata equazione di un processo fisico alle altre grandezze coinvolte nella trasformazione. Nel caso di un numero di variabili e di grandezze elevato, è utile ricorrere al Teorema di Buckingham. In questo articolo ne analizzeremo la dimostrazione fisica ed analitica.

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Partiamo dalla definizione: il Teorema di Buckingham dice che, data una trasformazione fisica descritta da un'equazione di n variabili, se esistono k grandezze associate a tali variabili, allora il sistema si può rappresentare con una funzione di n-k gruppi adimensionali. Un gruppo adimensionale corrisponde ad un valore privo di una qualsiasi unità di misura. Generalmente per ottenere un numero adimensionale si deve fare il prodotto o il rapporto di valori con dimensioni di riferimento, così che il risultato risulti un semplice numero. Nonostante non abbia dimensione, un numero adimensionale può assumere un significato fisico fondamentale. Proprio per questo è importante scegliere le grandezze in gioco in modo ben preciso, anche se futili ai fini dei calcoli. Senza di essere il numero adimensionale assumerebbe solamente un aspetto formale.

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Ritornando al Teorema di Buckingham, facciamo un semplice esempio. Se un sistema dipende da cinque grandezze che, a loro volta, sono costituite da combinazioni lineari delle tre grandezze fondamentali (massa, temperatura e lunghezza), allora è possibile rappresentare il sistema in esame con una funzione F di due gruppi adimensionali. Inoltre, il primo numero dimensionale equivale alla derivata della funzione rispetto al secondo gruppo. Ciò permette di descrivere il fenomeno con un singolo grafico, in cui abbiamo il numero di Reynolds sulle ascisse e il coefficiente di resistenza aerodinamica nelle ordinate. Il primo riguarda la fluidodinamica ed equivale al rapporto tra forze d'inerzia e viscose, mentre il secondo studia la resistenza di un corpo in movimento immerso in un fluido.

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Per dimostrare il Teorema di Buckingham bisogna pensare ad una grandezza Q definita come funzione delle altre. A questo punto si trovi un polinomio dello stesso grado di Q e si faccia il rapporto. Ciò che si ottiene è proprio un numero adimensionale, che chiameremo Pi Greco. Alla fine si otterrà una funzione che dipenderà non solo dal numero di grandezze indipendenti ma anche dalle M+1 grandezze considerate, per il principio di induzione. L'applicazione del Teorema di Buckingham ottiene molti riscontri nell'idrodinamica, termodinamica ed anche nella fisica generale.

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