Teorema di Buckingham: dimostrazione

Tramite: O2O 25/02/2020
Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema di Buckingham, dovuto al fisico statunitense Edgar Buckingham e detto anche teorema pi greco, è uno dei capitoli centrali della fisica. Il problema centrale della questione è trovare una relazione che leghi una grandezza fisica di una determinata equazione di un processo fisico alle altre grandezze coinvolte nella trasformazione. Nel caso di un numero di variabili e di grandezze elevato, è utile ricorrere al Teorema di Buckingham. Esso permette di studiare il fenomeno della sedimentazione di particelle di un soluto quando esse si trovano all'interno di un solo recettore. Il grafico che lo rappresenta ha come ascissa il numero di Reynolds ed il coefficiente di resistenza fluidodinamica. In questo articolo ne analizzeremo la dimostrazione fisica ed analitica in modo esauriente e completo.

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Occorrente

  • Grafico
  • Ascisse
  • Polinomi
  • Parametri
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Numero adimensionale

Partiamo dalla definizione: il Teorema di Buckingham dice che, data una trasformazione fisica descritta da un'equazione di date variabili, se esistono le grandezze associate a tali variabili, allora il sistema si può rappresentare con una funzione di n-k gruppi adimensionali. Un gruppo adimensionale corrisponde sempre ad un valore privo di una qualsiasi unità di misura. Generalmente per ottenere un numero adimensionale si deve fare il prodotto o il rapporto di valori con dimensioni di riferimento, così che il risultato risulti un semplice numero. Nonostante non abbia dimensione, un numero adimensionale può assumere un significato fisico fondamentale. Proprio per questo è importante scegliere le grandezze in gioco in modo ben preciso, anche se futili ai fini dei calcoli. Senza di essere il numero adimensionale assumerebbe solamente un aspetto formale. Tuttavia in questa formula ci sono alcune eccezioni molto importanti che dobbiamo sapere. Ecco un esempio: quando parliamo di grandezze associate a variabili il sistema non può essere rappresentato con la funzione di n-k gruppi adimensionali se è presente in partenza un'unità di misura. In questo caso succede il contrario ed il rapporto di valori viene raddoppiato.

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Coefficiente di resistenza

Ritornando al Teorema di Buckingham, facciamo un semplice esempio. Se un sistema dipende da cinque grandezze che, a loro volta, sono costituite da combinazioni lineari delle tre grandezze fondamentali (massa, temperatura e lunghezza), allora è possibile rappresentare il sistema in esame con una funzione F di due gruppi adimensionali. Inoltre, il primo numero dimensionale equivale alla derivata della funzione rispetto al secondo gruppo. Ciò permette di descrivere il fenomeno con un singolo grafico, in cui abbiamo il numero di Reynolds sulle ascisse e il coefficiente di resistenza aerodinamica nelle ordinate. Il primo riguarda la fluidodinamica ed equivale al rapporto tra forze d'inerzia e viscose, mentre il secondo studia la resistenza di un corpo in movimento immerso in un fluido. La funzione F può essere rappresentata anche con un solo gruppo adimensionale.

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Principio di induzione

Per dimostrare il Teorema di Buckingham bisogna pensare ad una grandezza Q definita come funzione delle altre. A questo punto bisogna trovare un polinomio dello stesso grado di Q e fare il conseguente rapporto. Ciò che otteniamo è proprio un numero adimensionale, che chiamiamo Pi Greco. Alla fine otteniamo una funzione che dipende non solo dal numero di grandezze indipendenti ma anche dalle M+1 grandezze considerate, per il principio di induzione. L'applicazione del Teorema di Buckingham ottiene molti riscontri nell'idrodinamica, termodinamica ed anche nella fisica generale.

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Spazio vettoriale

Un'altra dimostrazione che può risultare molto utile nella comprensione del teorema: se prendiamo lo spazio vettoriale derivato dalle unità fisiche fondamentali, notiamo che esso è pari alla nullità della matrice tradizionale. Dobbiamo ricordarci che differenti sistemi condividono la stessa descrizione. Questo significa che i numeri adimensionali sono sempre equivalenti. Un esempio pratico è il seguente: se F corrisponde a Q1 +Q2, il risultato è 0. Questa equazione deve poi essere scritta sostituendo la Q con il pi greco come parametro adimensionale. Gli esponenti devono sempre essere considerati alla pari di numeri razionali ridefinendo il pi greco che quindi viene elevato ad una potenza che cancella tutti i denominatori. Come possiamo vedere, il teorema di Buckingham genera un insieme di parametri e descrive la relazione tra essi e le dimensioni fondamentali. Alzando la somma vettoriale e la moltiplicazione scalare, si possono imporre limiti vincolari rispetto al fattore distanza/tempo.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Possiamo leggere un vettore kernel all'interno di una costante moltiplicativa
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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