Teorema di Bolzano-Weierstrass: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Quando si studia alcuni argomenti molto complessi che riguardano le materie scientifiche come la matematica, la fisica, ecc., potrebbe capitare di non riuscire a comprendere tutto, in questi casi trovare ulteriori informazioni potrebbe sicuramente facilitarci lo studio. Su internet potremo trovare moltissime guide che ci aiuteranno durante lo studio dei vari argomenti di queste difficili discipline, illustrandoci in maniera molto semplificata, tutti i teoremi e le varie dimostrazioni. In questo modo non dovremo fare altro che ricercare la guida di nostro interesse ed integrarla ai nostri appunti per poter comprendere molto più facilmente l'argomento di nostro interesse. Nei passi successivi, in particolare, vedremo la dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass.

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Occorrente

  • Leggere con attenzione la guida.
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Informazioni generali

In sintesi il teorema afferma che, se E è spazio euclideo finito, incluso un insieme limitato ed infinito R alla n, allora in E esiste un intorno, o meglio, un punto di accumulazione. Passiamo a dimostrare il teorema nello spazio monodimensionale e cioè per n =1. A tal fine useremo l’assioma di Dedekind, conosciuto anche come assioma di completezza, ed in particolare un suo lemma, che afferma che ogni successione, i cui valori siano definiti nell'insieme dei numeri reali R, include una sotto successione monotona.

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Caso generale di R con n=m

Nel caso generale di R con n=m, possiamo arrivare alla dimostrazione utilizzando quanto spiegato sopra, cioè il caso n=1. Infatti data una successione limitata in R alla n, possiamo definire come un sua sotto successione l’insieme delle prime coordinate che è reale e limitata. Da questa sotto successione allora possiamo estrarre un ulteriore sotto successione, definita come la prima coordinata, ma questa è una successione di tipo n=1 e quindi esiste un punto di accumulazione per questa sotto successione. Iterando questo procedimento per tutte le n coordinate si ottengono n sotto successioni, che non sono altro che una sotto successione nello spazio euclideo R alla n.

Continua la lettura
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Spiegazione della dimostrazione

Per cui, per concludere questa guida, ipotizziamo di avere una successione limitata con valori in R. Dal lemma precedente siamo venuti a conoscenza che questa include almeno una sotto successione monotona limitata. Il teorema delle convergenza monotona per le successioni nell'insieme dei numeri reali, afferma che questa sotto successione converge. Essendo limitata, il suo estremo superiore è per definizione anche il limite L della sotto successione. Essendo L un limite allora esiste un intorno o un punto di accumulazione in L. Proprio da ciò ne consegue la dimostrazione del nostro teorema.

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