Teorema di Bolzano: dimostrazione

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tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle successioni reali limitate) garantisce l'esistenza di almeno una radice nelle funzioni continue reali che assumano segni opposti ai due estremi di un intervallo. Nella guida vedremo una dimostrazione del teorema di Bolzano attraverso due metodi differenti. Partiamo dalla definizione di "Teorema di Bolzano" e arriviamo rapidamente alla dimostrazione.

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Occorrente

  • Carta e penna
  • Un buon libro di analisi matematica
  • Formulario di analisi matematica
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Enunciato del teorema di Bolzano

Apriamo la dimostrazione con l'enunciato del teorema di Bolzano. In presenza di una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] e f (a)*f (b) è <0, allora ci sarà sicuramente un valore di ascissa nel quale la funzione assumerà valore zero. Se il prodotto tra f (a) e f (b) è <0, ciò significa che f (a) e f (b) hanno valori opposti. Pertanto, in presenza di una funzione continua è necessaria l'esistenza di un valore di ascissa nel quale il valore di tale funzione dovrà essere inevitabilmente zero. Passiamo alle due dimostrazioni del teorema di Bolzano.

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Dimostrazione del teorema di Bolzano per assurdo

Vediamo la dimostrazione del teorema di Bolzano per assurdo. Poniamo f (a) < 0 < f (b) e supponiamo che f (x) sia differente da zero per ogni x dell'intervallo. Ora definiamo l'insieme E = { x ∈ [a, b]: f (x) < 0 }. L'insieme E non è un insieme vuoto, dal momento che contiene "a". Inoltre, "b" limita superiormente E. Di conseguenza, per l'assioma di completezza dei reali sicuramente esiste x0 = sup (E) ≤ b. L'estremo superiore possiede la seguente proprietà: X0 è maggiorante di E.2. Se y0 < x0, allora y0 non è maggiorante di E. Il valore f (x0) è differente da zero, perciò è necessariamente positivo o negativo. Vediamo l'ultima dimostrazione del teorema di Bolzano.

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Dimostrazione del teorema di Bolzano con il metodo di bisezione

Vediamo la dimostrazione del teorema di Bolzano con il metodo di bisezione. Poniamo a0 = a, b0 = b. Definiamo c0 = (a0 + b0)/2. Se f (c0) = 0, non è necessaria un'ulteriore dimostrazione. Se f (c0) > 0, poniamo a1 = a0 e b1 = c0; se invece f (c0) < 0, poniamo a1 = c0 e b1 = b0. Al passo generico K, poniamo induttivamente cK = (aK + bK)/2. Se f (cK) = 0 non è necessaria un'ulteriore dimostrazione; se f (cK) > 0, poniamo aK + 1 = aK e bK +1 = cK. Se invece f (cK) < 0 poniamo aK + 1 = cK e bK + 1 = bK. Notiamo che {aN} è non decrescente, {bN} non crescente e che a0 ≤ aN ≤ cN ≤ bN ≤ b0 per ogni N. Di conseguenza, per il teorema delle successioni monotone lim N → +∞ aN e lim n → +∞ bN esistono finiti. Inoltre notiamo che bN - aN = bN -1 - aN -1) /2, e quindi bN - aN = (b0 - a0)/2^n. Proseguendo, lim n → +∞ (bN - aN) = 0 = lim n →+∞ bN - lim n →+∞ aN, cioè
lim n→+∞ aN = lim n →+∞ bN.
Possiamo quindi applicare il teorema dei carabinieri che ci porta alla seguente conclusione:
lim n →+∞ aN = lim n →+∞ bN = lim n →+∞ cN. Abbiamo terminato la dimostrazione del teorema di Bolzano. Applicate le nuove nozioni sul teorema di Bolzano e sulla sua dimostrazione in esercizi di pratica. Se voleste ulteriori chiarimenti sul teorema consultate il link: http://www.dma.unifi.it/~stefani/didattica/aaVecchi/aa9900/appnew99.pdf.

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