Teorema di Bolzano: dimostrazione

Di:
tramite: O2O
Difficoltà: difficile
17

Introduzione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle successioni reali limitate) garantisce l'esistenza di almeno una radice nelle funzioni continue reali che assumano segni opposti ai due estremi di un intervallo. Nella guida vedremo una dimostrazione del teorema di Bolzano attraverso due metodi differenti. Partiamo dalla definizione di "Teorema di Bolzano" e arriviamo rapidamente alla dimostrazione.

27

Occorrente

  • Carta e penna
  • Un buon libro di analisi matematica
  • Formulario di analisi matematica
37

Enunciato del teorema di Bolzano

Apriamo la dimostrazione con l'enunciato del teorema di Bolzano. In presenza di una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] e f (a)*f (b) è <0, allora ci sarà sicuramente un valore di ascissa nel quale la funzione assumerà valore zero. Se il prodotto tra f (a) e f (b) è <0, ciò significa che f (a) e f (b) hanno valori opposti. Pertanto, in presenza di una funzione continua è necessaria l'esistenza di un valore di ascissa nel quale il valore di tale funzione dovrà essere inevitabilmente zero. Passiamo alle due dimostrazioni del teorema di Bolzano.

47

Dimostrazione del teorema di Bolzano per assurdo

Vediamo la dimostrazione del teorema di Bolzano per assurdo. Poniamo f (a) < 0 < f (b) e supponiamo che f (x) sia differente da zero per ogni x dell'intervallo. Ora definiamo l'insieme E = { x ∈ [a, b]: f (x) < 0 }. L'insieme E non è un insieme vuoto, dal momento che contiene "a". Inoltre, "b" limita superiormente E. Di conseguenza, per l'assioma di completezza dei reali sicuramente esiste x0 = sup (E) ≤ b. L'estremo superiore possiede la seguente proprietà: X0 è maggiorante di E.2. Se y0 < x0, allora y0 non è maggiorante di E. Il valore f (x0) è differente da zero, perciò è necessariamente positivo o negativo. Vediamo l'ultima dimostrazione del teorema di Bolzano.

Continua la lettura
57

Dimostrazione del teorema di Bolzano con il metodo di bisezione

Vediamo la dimostrazione del teorema di Bolzano con il metodo di bisezione. Poniamo a0 = a, b0 = b. Definiamo c0 = (a0 + b0)/2. Se f (c0) = 0, non è necessaria un'ulteriore dimostrazione. Se f (c0) > 0, poniamo a1 = a0 e b1 = c0; se invece f (c0) < 0, poniamo a1 = c0 e b1 = b0. Al passo generico K, poniamo induttivamente cK = (aK + bK)/2. Se f (cK) = 0 non è necessaria un'ulteriore dimostrazione; se f (cK) > 0, poniamo aK + 1 = aK e bK +1 = cK. Se invece f (cK) < 0 poniamo aK + 1 = cK e bK + 1 = bK. Notiamo che {aN} è non decrescente, {bN} non crescente e che a0 ≤ aN ≤ cN ≤ bN ≤ b0 per ogni N. Di conseguenza, per il teorema delle successioni monotone lim N → +∞ aN e lim n → +∞ bN esistono finiti. Inoltre notiamo che bN - aN = bN -1 - aN -1) /2, e quindi bN - aN = (b0 - a0)/2^n. Proseguendo, lim n → +∞ (bN - aN) = 0 = lim n →+∞ bN - lim n →+∞ aN, cioè
lim n→+∞ aN = lim n →+∞ bN.
Possiamo quindi applicare il teorema dei carabinieri che ci porta alla seguente conclusione:
lim n →+∞ aN = lim n →+∞ bN = lim n →+∞ cN. Abbiamo terminato la dimostrazione del teorema di Bolzano. Applicate le nuove nozioni sul teorema di Bolzano e sulla sua dimostrazione in esercizi di pratica. Se voleste ulteriori chiarimenti sul teorema consultate il link: http://www.dma.unifi.it/~stefani/didattica/aaVecchi/aa9900/appnew99.pdf.

67

Guarda il video

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Teorema degli zeri

Oramai è risaputo, la matematica, è una delle materie più complesse da studiare, per cui potrebbe capitare, che alcuni, dei tanti argomenti che la costituiscono, risultino di difficile comprensione. Per ovviare a ciò, il web, ha messo a disposizione...
Università e Master

Teorema di Heine-Borel: dimostrazione

Il Teorema di Heine-Borel afferma che un sottospazio di R^n (con la solita topologia) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Tale teorema può essere dimostrato mediante quello di Bolzano-Weierstrass. Inoltre, in chiave moderna è certamente possibile...
Superiori

Come dimostrare il teorema di Weierstrass

Discipline scolastiche come la matematica, la fisica o ancora la chimica sono molto interessanti, ma anche complicate. Le argomentazioni spiegano le dinamiche quotidiane. Tuttavia, non per tutti sono di facile comprensione. Alcuni concetti più di altri...
Università e Master

Teorema di esistenza del limite di successioni monotone: dimostrazione

Il teorema dell'esistenza del limite di successioni monotone è un noto teorema dell’analisi matematica, il quale afferma che ogni successione monotona possiede un limite. Nella guida che segue vi sarà spiegato cos'è una successione, quali tipi di...
Superiori

Teorema di approssimazione di Weierstrass: dimostrazione

Per il teorema di limitatezza delle funzioni continue (che dice che presa una funzione continua su un intervallo chiuso, essa è limitata nell'intervallo, ovvero ammette un numero C>0 tale che la funzione è minore o uguale a C per ogni punto dell'intervallo),...
Università e Master

Teorema di Hartogs (teoria degli insiemi): dimostrazione

La matematica è una materia tanto affascinante quanto complessa. Una volta capita e compresi i suoi meccanismi studiarla risulterà molto più semplice, e in alcuni casi anche divertente. In questa guida parlerò di teoria degli insiemi, in particolare...
Superiori

Teorema di Fermat: dimostrazione

Il "Teorema di Fermat" appartiene alla categoria dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Tale teorema non va confuso con "l'ultimo teorema di Fermat", il "piccolo teorema" o il "teorema sulle somme di due quadrati". Esso fa parte dell'analisi...
Superiori

Teorema di Ascoli-Arzelà: dimostrazione

In questo articolo vogliamo proporvi una guida, mediante la quale essere in grado di comprendere meglio e nel migliore dei modi, il Teorema di Ascoli-Arzelà e nello specifico la sua dimostrazione. Il teorema di Ascoli-Arzelà è un teorema di analisi...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.