Vediamo la dimostrazione del teorema di Bolzano con il metodo di bisezione. Poniamo a0 = a, b0 = b. Definiamo c0 = (a0 + b0)/2. Se f (c0) = 0, non è necessaria un'ulteriore dimostrazione. Se f (c0) > 0, poniamo a1 = a0 e b1 = c0; se invece f (c0) < 0, poniamo a1 = c0 e b1 = b0. Al passo generico K, poniamo induttivamente cK = (aK + bK)/2. Se f (cK) = 0 non è necessaria un'ulteriore dimostrazione; se f (cK) > 0, poniamo aK + 1 = aK e bK +1 = cK. Se invece f (cK) < 0 poniamo aK + 1 = cK e bK + 1 = bK. Notiamo che {aN} è non decrescente, {bN} non crescente e che a0 ≤ aN ≤ cN ≤ bN ≤ b0 per ogni N. Di conseguenza, per il teorema delle successioni monotone lim N → +∞ aN e lim n → +∞ bN esistono finiti. Inoltre notiamo che bN - aN = bN -1 - aN -1) /2, e quindi bN - aN = (b0 - a0)/2^n. Proseguendo, lim n → +∞ (bN - aN) = 0 = lim n →+∞ bN - lim n →+∞ aN, cioè
lim n→+∞ aN = lim n →+∞ bN.
Possiamo quindi applicare il teorema dei carabinieri che ci porta alla seguente conclusione:
lim n →+∞ aN = lim n →+∞ bN = lim n →+∞ cN. Abbiamo terminato la dimostrazione del teorema di Bolzano. Applicate le nuove nozioni sul teorema di Bolzano e sulla sua dimostrazione in esercizi di pratica. Se voleste ulteriori chiarimenti sul teorema consultate il link: http://www.dma.unifi.it/~stefani/didattica/aaVecchi/aa9900/appnew99.pdf.
