Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle successioni reali limitate) garantisce l'esistenza di almeno una radice nelle funzioni continue reali che assumano segni opposti ai due estremi di un intervallo. Nella guida vedremo una dimostrazione del teorema di Bolzano attraverso due metodi differenti. Partiamo dalla definizione di "Teorema di Bolzano" e arriviamo rapidamente alla dimostrazione.

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Apriamo la dimostrazione con l'enunciato del teorema di Bolzano. In presenza di una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] e f (a)*f (b) è

Vediamo la dimostrazione del teorema di Bolzano per assurdo. Poniamo f (a)

Vediamo la dimostrazione del teorema di Bolzano con il metodo di bisezione. Poniamo a0 = a, b0 = b. Definiamo c0 = (a0 + b0)/2. Se f (c0) = 0, non è necessaria un'ulteriore dimostrazione. Se f (c0) > 0, poniamo a1 = a0 e b1 = c0; se invece f (c0) 0, poniamo aK + 1 = aK e bK +1 = cK. Se invece f (cK) lim n?+? aN = lim n ?+? bN.
Possiamo quindi applicare il teorema dei carabinieri che ci porta alla seguente conclusione:
lim n ?+? aN = lim n ?+? bN = lim n ?+? cN. Abbiamo terminato la dimostrazione del teorema di Bolzano. Applicate le nuove nozioni sul teorema di Bolzano e sulla sua dimostrazione in esercizi di pratica. Se voleste ulteriori chiarimenti sul teorema consultate il link: http://www.dma.unifi.it/~stefani/didattica/aaVecchi/aa9900/appnew99.pdf.

• Fate molta attenzione a non confondervi con il "teorema di Bolzano-Weierstrass", il quale è legato alle successioni reali limitate.

• Altre informazioni sul teorema di Bolzano
• http://m.oilproject.org/lezione/teorema-di-bolzano-teorema-valore-intermedi-degli-zeri-13673.html
• http://www.treccani.it/enciclopedia/teorema-di-esistenza-degli-zeri_%28Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica%29/